Determine a posição relativa das retas r1 e r2.
56. r1: x=2+t, y=2+3 t, z=3+t
r2: x=2+s, y=3+4 s, z=4+2 s

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar a posição relativa das retas e no espaço tridimensional. Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como vetores diretores e sistema de equações para verificar se as retas são paralelas, coincidentes, se intersectam ou são retas skews (não paralelas e não se intersectam).

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as equações paramétricas de cada reta:
r1: x = 2 + t y = 2 + 3t z = 3 + t
r2: x = 2 + s y = 3 + 4s z = 4 + 2s
Aqui, e são os parâmetros das retas e , respectivamente.

Passo 3

Agora, vamos identificar os vetores diretores de cada reta. O vetor diretor é dado pelos coeficientes dos parâmetros nas equações paramétricas.
Para d1 = 1 3 1 :
d2 = 1 4 2
Para :

Passo 4

Vamos verificar se os vetores diretores são paralelos. Dois vetores são paralelos se um for múltiplo escalar do outro. Ou seja, existe um número d2 = k d1 tal que:
1 = k cdot 1 4 = k cdot 3 2 = k cdot 1
Comparando os componentes:
Da primeira equação, . Mas na segunda, não é verdade, então não existe um único que satisfaz todas as equações. Portanto, os vetores diretores não são paralelos.

Passo 5

Como os vetores diretores não são paralelos, vamos verificar se as retas se intersectam. Para isso, precisamos encontrar valores de 2 + t = 2 + s 2 + 3t = 3 + 4s 3 + t = 4 + 2s e 2 + 3s = 3 + 4s 2 - 3 = s s = -1 que satisfaçam simultaneamente as equações das retas:
3 + (-1) = 4 + 2(-1) 2 = 4 - 2 2 = 2 (Verdade)
Da primeira equação, .
Substituindo na segunda equação:
Usando , temos .
Vamos verificar na terceira equação:
Como encontramos valores de e que satisfazem todas as equações, as retas se intersectam no ponto correspondente a e .

Resposta

As retas e se intersectam no ponto . Portanto, elas se cruzam no espaço tridimensional.

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