Determine a equação do plano que contém A(1,0,-1) e a reta interseção dos planos alpha: x+y-z=0 e beta: 2 x-y+3 z+1=0, por dois processos distintos.

Passo 1

Então, a gente tem que encontrar a equação de um plano que passa pelo ponto e também contém a reta que resulta da interseção dos planos e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como a equação do plano e a interseção de planos para encontrar uma reta.

Passo 2

Primeiro, precisamos achar a direção da reta de interseção dos planos nalpha = (1, 1, -1) e nbeta = (2, -1, 3) e d = nalpha times nbeta = i & j & k 1 & 1 & -1 2 & -1 & 3 = i(1 cdot 3 - (-1) cdot (-1)) - j(1 cdot 3 - (-1) cdot 2) + k(1 cdot (-1) - 1 cdot 2) = (3 - 1)i - (3 - (-2))j + (-1 - 2)k = 2i - 5j - 3k . A direção dessa reta é dada pelo vetor normal resultante do produto vetorial dos vetores normais dos dois planos.
Os vetores normais dos planos são:
Vamos calcular o produto vetorial :
Então, a direção da reta é .

Passo 3

Agora, vamos usar o ponto x + y - z = 0 2x - y + 3z + 1 = 0 e a direção x + y = 0 2x - y + 1 = 0 para encontrar dois vetores que estão no plano que queremos determinar. Um desses vetores é a própria direção da reta, e o outro pode ser um vetor que liga o ponto 2x - (-x) + 1 = 0 Rightarrow 3x + 1 = 0 Rightarrow x = -13, y = 13 a um ponto qualquer na reta de interseção.
Para simplificar, vamos encontrar um ponto na reta de interseção dos planos AB = (-13 - 1, 13 - 0, 0 - (-1)) = (-43, 13, 1) e . Podemos fazer isso resolvendo o sistema de equações:
Vamos assumir para facilitar:
Da primeira equação, . Substituindo na segunda:
Então, um ponto na reta é .
Agora, o vetor é:

Passo 4

Com os vetores n = i & j & k 2 & -5 & -3 -43 & 13 & 1 = i((-5)(1) - (-3)(13)) - j(2(1) - (-3)(-43)) + k(2(13) - (-5)(-43)) e = i(-5 + 1) - j(2 - 4) + k(23 - 203) = -4i + 2j - 183k = (-4, 2, -6) que estão no plano, podemos encontrar o vetor normal ao plano fazendo o produto vetorial desses dois vetores.
Vamos calcular :
Podemos simplificar o vetor normal dividindo por 2: .

Passo 5

Agora que temos o vetor normal ao plano n cdot (X - A) = 0 e sabemos que o plano passa pelo ponto -2(x - 1) + 1(y - 0) - 3(z + 1) = 0 , podemos usar a equação geral do plano:
-2x + 2 + y - 3z - 3 = 0 Rightarrow -2x + y - 3z - 1 = 0
Onde 2x - y + 3z + 1 = 0 é um ponto qualquer no plano. Substituindo:
Simplificando:
Multiplicando todos os termos por -1 para simplificar:

Resposta

A equação do plano é .

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