Determine a equação do plano que contém e a reta interseção dos planos e , por dois processos distintos.
Passo 1
Então, a gente tem que encontrar a equação de um plano que passa pelo ponto e também contém a reta que resulta da interseção dos planos e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como a equação do plano e a interseção de planos para encontrar uma reta.
Passo 2
Primeiro, precisamos achar a direção da reta de interseção dos planos e . A direção dessa reta é dada pelo vetor normal resultante do produto vetorial dos vetores normais dos dois planos.
Os vetores normais dos planos são:
Vamos calcular o produto vetorial :
Então, a direção da reta é .
Passo 3
Agora, vamos usar o ponto x + y - z = 0 2x - y + 3z + 1 = 0 e a direção x + y = 0 2x - y + 1 = 0 para encontrar dois vetores que estão no plano que queremos determinar. Um desses vetores é a própria direção da reta, e o outro pode ser um vetor que liga o ponto 2x - (-x) + 1 = 0 Rightarrow 3x + 1 = 0 Rightarrow x = -13, y = 13 a um ponto qualquer na reta de interseção.
Para simplificar, vamos encontrar um ponto na reta de interseção dos planos AB = (-13 - 1, 13 - 0, 0 - (-1)) = (-43, 13, 1) e . Podemos fazer isso resolvendo o sistema de equações:
Vamos assumir para facilitar:
Da primeira equação, . Substituindo na segunda:
Então, um ponto na reta é .
Agora, o vetor é:
Passo 4
Com os vetores n = i & j & k 2 & -5 & -3 -43 & 13 & 1 = i((-5)(1) - (-3)(13)) - j(2(1) - (-3)(-43)) + k(2(13) - (-5)(-43)) e = i(-5 + 1) - j(2 - 4) + k(23 - 203) = -4i + 2j - 183k = (-4, 2, -6) que estão no plano, podemos encontrar o vetor normal ao plano fazendo o produto vetorial desses dois vetores.
Vamos calcular :
Podemos simplificar o vetor normal dividindo por 2: .
Passo 5
Agora que temos o vetor normal ao plano n cdot (X - A) = 0 e sabemos que o plano passa pelo ponto -2(x - 1) + 1(y - 0) - 3(z + 1) = 0 , podemos usar a equação geral do plano: