Determine a equação do plano que contém e a reta interseção dos planos e , por dois processos distintos.

Passo 1

Então, a gente tem que encontrar a equação de um plano que passa pelo ponto e também contém a reta que resulta da interseção dos planos e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como a equação do plano e a interseção de planos para encontrar uma reta.

Passo 2

Primeiro, precisamos achar a direção da reta de interseção dos planos e . A direção dessa reta é dada pelo vetor normal resultante do produto vetorial dos vetores normais dos dois planos.
Os vetores normais dos planos são:
Vamos calcular o produto vetorial :
Então, a direção da reta é .

Passo 3

Agora, vamos usar o ponto e a direção para encontrar dois vetores que estão no plano que queremos determinar. Um desses vetores é a própria direção da reta, e o outro pode ser um vetor que liga o ponto a um ponto qualquer na reta de interseção.
Para simplificar, vamos encontrar um ponto na reta de interseção dos planos e . Podemos fazer isso resolvendo o sistema de equações:
Vamos assumir para facilitar:
Da primeira equação, . Substituindo na segunda:
Então, um ponto na reta é .
Agora, o vetor é:

Passo 4

Com os vetores e que estão no plano, podemos encontrar o vetor normal ao plano fazendo o produto vetorial desses dois vetores.
Vamos calcular :
Podemos simplificar o vetor normal dividindo por 2: .

Passo 5

Agora que temos o vetor normal ao plano e sabemos que o plano passa pelo ponto , podemos usar a equação geral do plano:
Onde é um ponto qualquer no plano. Substituindo:
Simplificando:
Multiplicando todos os termos por -1 para simplificar:

Resposta

A equação do plano é .

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Seja . Verifique quais dos subconjuntos abaixo são subespaços de .
(a) e .
(b) .
© uma matriz fixa em .
(d) .
(e) .
(f) .
Dades os poritos e , determina x tál que syam ortogonais, sendo .
Dados os vetores e , calcular:
Seja . Verifique quais dos subconjuntos abaixo são subespaços de .
(a) .
(b) .
© .
(d) .
(e) .
(f) .
(g) .
(h) .