Determine a equação do plano que contém e a reta interseção dos planos e , por dois processos distintos.
Passo 1
Então, a gente tem que encontrar a equação de um plano que passa pelo ponto e também contém a reta que resulta da interseção dos planos e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como a equação do plano e a interseção de planos para encontrar uma reta.
Passo 2
Primeiro, precisamos achar a direção da reta de interseção dos planos e . A direção dessa reta é dada pelo vetor normal resultante do produto vetorial dos vetores normais dos dois planos.
Os vetores normais dos planos são:
Vamos calcular o produto vetorial :
Então, a direção da reta é .
Passo 3
Agora, vamos usar o ponto e a direção para encontrar dois vetores que estão no plano que queremos determinar. Um desses vetores é a própria direção da reta, e o outro pode ser um vetor que liga o ponto a um ponto qualquer na reta de interseção.
Para simplificar, vamos encontrar um ponto na reta de interseção dos planos e . Podemos fazer isso resolvendo o sistema de equações:
Vamos assumir para facilitar:
Da primeira equação, . Substituindo na segunda:
Então, um ponto na reta é .
Agora, o vetor é:
Passo 4
Com os vetores e que estão no plano, podemos encontrar o vetor normal ao plano fazendo o produto vetorial desses dois vetores.
Vamos calcular :
Podemos simplificar o vetor normal dividindo por 2: .
Passo 5
Agora que temos o vetor normal ao plano e sabemos que o plano passa pelo ponto , podemos usar a equação geral do plano:
Onde é um ponto qualquer no plano. Substituindo:
Simplificando:
Multiplicando todos os termos por -1 para simplificar: