Seja V=R^3. Verifique quais dos subconjuntos abaixo são subespaços de V.
(a) W=(x, y, z) in V: x+y+z=0.
(b) W=(x, y, z) in V: x <= y <= z.
© W=(x, y, z) in V: x-3 z=0.
(d) W=(x, y, z) in V: x in Z.
(e) W=(x, y, z) in V: x^2+y^2+z^2 <= 1.
(f) W=(x, y, z) in V: x >= 0.
(g) W=(x, y, z) in V: x y=0.
(h) W=(x, y, z) in V: x=z^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para verificar quais dos subconjuntos listados são subespaços de . Para isso, precisamos lembrar que, para um conjunto ser um subespaço, ele deve satisfazer três condições:
  1. Conter o vetor zero: O vetor deve estar no conjunto.
  2. Fechado sob adição: Se dois vetores estão no conjunto, a soma deles também deve estar.
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se um vetor está no conjunto, qualquer múltiplo dele por um número real também deve estar.
Vamos analisar cada um dos subconjuntos de (a) a (h) usando esses critérios.

Passo 2

(a) (x1 + x2) + (y1 + y2) + (z1 + z2) = (x1 + y1 + z1) + (x2 + y2 + z2) = 0 + 0 = 0
  • Vetor zero: Se c x + c y + c z = c (x + y + z) = c cdot 0 = 0 , então . O vetor zero está em .
  • Fechado sob adição: Se e estão em , então: Então, a soma está em .
  • Fechado sob multiplicação por escalar: Se está em e é um escalar, então: Então, o múltiplo também está em .
Conclusão: é um subespaço de .

Passo 3

(b)
  • Vetor zero: satisfaz . O vetor zero está em .
  • Fechado sob adição: Vamos testar com dois vetores que satisfazem a condição. Por exemplo:
    • , que também satisfaz .
      Mas, se tomarmos e , a soma seria , que satisfaz, mas outros casos podem não satisfazer.
  • Fechado sob multiplicação por escalar: Se multiplicarmos por , teremos , que não satisfaz .
Conclusão: não é um subespaço de porque não é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 4

© (x1 + x2) - 3(z1 + z2) = (3z1 + 3z2) - 3(z1 + z2) = 0
  • Vetor zero: c x = c (3z) = 3(c z) satisfaz . O vetor zero está em .
  • Fechado sob adição: Se e estão em , então e . A soma será e: Então, a soma está em .
  • Fechado sob multiplicação por escalar: Se está em , então . Multiplicando por : Portanto, , e o múltiplo está em .
Conclusão: é um subespaço de .

Passo 5

(d)
  • Vetor zero: , que é um número inteiro. O vetor zero está em .
  • Fechado sob adição: Se e são inteiros, então também é inteiro. Porém, precisamos verificar a segunda condição.
  • Fechado sob multiplicação por escalar: Seja e . Multiplicando, temos . O componente ainda é inteiro, mas para qualquer escalar não inteiro, pode não ser inteiro.
Conclusão: não é um subespaço de porque não é fechado sob multiplicação por escalar com números reais.

Passo 6

(e)
  • Vetor zero: satisfaz . O vetor zero está em .
  • Fechado sob adição: Se e estão em , a soma pode ter . Por exemplo, e , então e .
  • Fechado sob multiplicação por escalar: Se está em e , então pode ter .
Conclusão: não é um subespaço de porque não é fechado sob adição nem sob multiplicação por escalar.

Passo 7

(f)
  • Vetor zero: satisfaz . O vetor zero está em .
  • Fechado sob adição: Se e , então . Isso parece funcionar.
  • Fechado sob multiplicação por escalar: Se multiplicarmos por um escalar negativo, pode ser negativo mesmo que .
Conclusão: não é um subespaço de porque não é fechado sob multiplicação por escalar com números negativos.

Passo 8

(g)
  • Vetor zero: e satisfazem . O vetor zero está em .
  • Fechado sob adição: Se e , então . Aqui, pode não ser zero.
  • Fechado sob multiplicação por escalar: Mesmo que fechada sob adição, já não é um subespaço.
Conclusão: não é um subespaço de porque não é fechado sob adição.

Passo 9

(h)
  • Vetor zero: e satisfazem . O vetor zero está em .
  • Fechado sob adição: Se e , então . Para que esteja em , precisaríamos que , o que não é geralmente verdade.
  • Fechado sob multiplicação por escalar: Mesmo que a adição falhe, a multiplicação por escalar também pode falhar.
Conclusão: não é um subespaço de porque não é fechado sob adição.

Resposta

Os subconjuntos que são subespaços de são:
  • (a)
  • ©
Todos os outros subconjuntos não satisfazem as condições para serem subespaços.

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