Seja
. Verifique quais dos subconjuntos abaixo são subespaços de
.
(a)
.
(b)
.
©
.
(d)
.
(e)
.
(f)
.
(g)
.
(h)
.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para verificar quais dos subconjuntos listados são subespaços de
. Para isso, precisamos lembrar que, para um conjunto ser um subespaço, ele deve satisfazer três condições:
- Conter o vetor zero: O vetor
deve estar no conjunto. - Fechado sob adição: Se dois vetores estão no conjunto, a soma deles também deve estar.
- Fechado sob multiplicação por escalar: Se um vetor está no conjunto, qualquer múltiplo dele por um número real também deve estar.
Vamos analisar cada um dos subconjuntos de (a) a (h) usando esses critérios.
Passo 2
(a)
- Vetor zero: Se
, então . O vetor zero está em . - Fechado sob adição: Se
e estão em , então: Então, a soma está em . - Fechado sob multiplicação por escalar: Se
está em e é um escalar, então: Então, o múltiplo também está em .
Conclusão:
é um subespaço de
.
Passo 3
(b)
- Vetor zero:
satisfaz . O vetor zero está em . - Fechado sob adição: Vamos testar com dois vetores que satisfazem a condição. Por exemplo:
-
-
-
, que também satisfaz .
Mas, se tomarmose , a soma seria , que satisfaz, mas outros casos podem não satisfazer.
-
- Fechado sob multiplicação por escalar: Se multiplicarmos
por , teremos , que não satisfaz .
Conclusão:
não é um subespaço de
porque não é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 4
©
- Vetor zero:
satisfaz . O vetor zero está em . - Fechado sob adição: Se
e estão em , então e . A soma será e: Então, a soma está em . - Fechado sob multiplicação por escalar: Se
está em , então . Multiplicando por : Portanto, , e o múltiplo está em .
Conclusão:
é um subespaço de
.
Passo 5
(d)
- Vetor zero:
, que é um número inteiro. O vetor zero está em . - Fechado sob adição: Se
e são inteiros, então também é inteiro. Porém, precisamos verificar a segunda condição. - Fechado sob multiplicação por escalar: Seja
e . Multiplicando, temos . O componente ainda é inteiro, mas para qualquer escalar não inteiro, pode não ser inteiro.
Conclusão:
não é um subespaço de
porque não é fechado sob multiplicação por escalar com números reais.
Passo 6
(e)
- Vetor zero:
satisfaz . O vetor zero está em . - Fechado sob adição: Se
e estão em , a soma pode ter . Por exemplo, e , então e . - Fechado sob multiplicação por escalar: Se
está em e , então pode ter .
Conclusão:
não é um subespaço de
porque não é fechado sob adição nem sob multiplicação por escalar.
Passo 7
(f)
- Vetor zero:
satisfaz . O vetor zero está em . - Fechado sob adição: Se
e , então . Isso parece funcionar. - Fechado sob multiplicação por escalar: Se multiplicarmos por um escalar negativo,
pode ser negativo mesmo que .
Conclusão:
não é um subespaço de
porque não é fechado sob multiplicação por escalar com números negativos.
Passo 8
(g)
- Vetor zero:
e satisfazem . O vetor zero está em . - Fechado sob adição: Se
e , então . Aqui, pode não ser zero. - Fechado sob multiplicação por escalar: Mesmo que fechada sob adição, já não é um subespaço.
Conclusão:
não é um subespaço de
porque não é fechado sob adição.
Passo 9
(h)
- Vetor zero:
e satisfazem . O vetor zero está em . - Fechado sob adição: Se
e , então . Para que esteja em , precisaríamos que , o que não é geralmente verdade. - Fechado sob multiplicação por escalar: Mesmo que a adição falhe, a multiplicação por escalar também pode falhar.
Conclusão:
não é um subespaço de
porque não é fechado sob adição.
Resposta
Os subconjuntos que são subespaços de
são:
- (a)
- ©
Todos os outros subconjuntos não satisfazem as condições para serem subespaços.