Seja
. Verifique quais dos subconjuntos abaixo são subespaços de
.
(a)
e
.
(b)
.
©
uma matriz fixa em
.
(d)
.
(e)
.
(f)
.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
Passo 1
Vamos resolver um exercício de álgebra linear que pede para verificar quais subconjuntos de matrizes quadradas reais
são subespaços. Para isso, vamos lembrar que um subconjunto
de
é um subespaço se:
- Contém a matriz zero: A matriz onde todos os elementos são zero deve estar em
. - Fechado por adição: Se duas matrizes estão em
, a soma delas também deve estar em . - Fechado por multiplicação por escalar: Se uma matriz está em
, qualquer múltiplo dela por um número real também deve estar em .
Vamos aplicar esses critérios para cada subconjunto apresentado no exercício.
Passo 2
(a)
- Matriz zero: Se
e , então . Assim, a matriz zero está em . - Fechado por adição: Se temos duas matrizes
e em , então . Como e , então . Além disso, e , portanto . Logo, está em . - Fechado por multiplicação por escalar: Para um escalar
e uma matriz em , temos . Aqui, e . Então, está em .
Conclusão:
é um subespaço de
.
Passo 3
(b)
- Matriz zero: Para a matriz zero,
e . Então, é verdadeiro. A matriz zero está em . - Fechado por adição: Suponha que
e estão em , ou seja, e . Somando, temos , o que satisfaz a condição. Então, está em . - Fechado por multiplicação por escalar: Considere um escalar positivo
. Para , mantém a desigualdade. Porém, se , a desigualdade inverte, ou seja, , o que não satisfaz a condição original. Portanto, não é fechado para todos os escalares.
Conclusão:
NÃO é um subespaço de
.
Passo 4
©
- Matriz zero: A matriz zero comuta com qualquer outra matriz, pois
. Portanto, a matriz zero está em . - Fechado por adição: Se
e estão em , então e . Somando, , então comuta com , estando em . - Fechado por multiplicação por escalar: Para um escalar
e , temos . Logo, comuta com , estando em .
Conclusão:
é um subespaço de
.
Passo 5
(d)
- Matriz zero: Para a matriz zero,
, então a matriz zero está em . - Fechado por adição: Suponha que
, ou seja, e . Porém, . Para que , precisaríamos que , o que nem sempre acontece. Assim, não é fechado por adição. - Fechado por multiplicação por escalar: Mesmo que
falhe na adição, vamos verificar a multiplicação. Para um escalar e , . Para que , precisaríamos que , o que só ocorre se ou . Portanto, não é fechado para todos os escalares.
Conclusão:
NÃO é um subespaço de
.
Passo 6
(e)
- Matriz zero: Para a matriz zero,
, que não satisfaz a condição . Portanto, a matriz zero NÃO está em .
Conclusão: Como não contém a matriz zero,
NÃO é um subespaço de
.
Passo 7
(f)
- Matriz zero: Para a matriz zero,
, então a matriz zero está em . - Fechado por adição: Seja
e em , isto é, e . A soma . O determinante de é . Expansão dá . Não necessariamente isso é igual a zero, então NÃO é fechado por adição. - Fechado por multiplicação por escalar: Mesmo que
falhe na adição, vamos verificar a multiplicação. Para um escalar e , . Então, está em .
Conclusão: Apesar de
ser fechado por multiplicação por escalar e conter a matriz zero, ele NÃO é fechado por adição. Portanto,
NÃO é um subespaço de
.
Resposta
Os subconjuntos que são subespaços de
são:
- (a)
- ©
Os demais subconjuntos não satisfazem todos os critérios para serem subespaços.