Seja V=R^n times n, n >= 2. Verifique quais dos subconjuntos abaixo são subespaços de V.
(a) W=[lla & b c & d] in V: a=c e b+d=0.
(b) W=[lla & b c & d] in V: a+d <= b+c.
© W=A in V: A B=B A, B uma matriz fixa em V.
(d) W=A in V: A^2=A.
(e) W=[lla & b c & d] in V: a d-b c neq 0.
(f) W=[lla & b c & d] in V: a d-b c=0.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de álgebra linear que pede para verificar quais subconjuntos de matrizes quadradas reais são subespaços. Para isso, vamos lembrar que um subconjunto de é um subespaço se:
  1. Contém a matriz zero: A matriz onde todos os elementos são zero deve estar em .
  2. Fechado por adição: Se duas matrizes estão em , a soma delas também deve estar em .
  3. Fechado por multiplicação por escalar: Se uma matriz está em , qualquer múltiplo dela por um número real também deve estar em .
Vamos aplicar esses critérios para cada subconjunto apresentado no exercício.

Passo 2

(a) a & b c & d
  1. Matriz zero: Se 0 & 0 0 & 0 e a & b a & d , então a' & b' a' & d' . Assim, a matriz zero a + a' & b + b' a + a' & d + d' está em a & b a & d .
  2. Fechado por adição: Se temos duas matrizes ka & kb ka & kd e em , então . Como e , então . Além disso, e , portanto . Logo, está em .
  3. Fechado por multiplicação por escalar: Para um escalar e uma matriz em , temos . Aqui, e . Então, está em .
Conclusão: é um subespaço de .

Passo 3

(b) a & b c & d
  1. Matriz zero: Para a matriz zero, a & b c & d e a' & b' c' & d' . Então, é verdadeiro. A matriz zero está em .
  2. Fechado por adição: Suponha que e estão em , ou seja, e . Somando, temos , o que satisfaz a condição. Então, está em .
  3. Fechado por multiplicação por escalar: Considere um escalar positivo . Para , mantém a desigualdade. Porém, se , a desigualdade inverte, ou seja, , o que não satisfaz a condição original. Portanto, não é fechado para todos os escalares.
Conclusão: NÃO é um subespaço de .

Passo 4

©
  1. Matriz zero: A matriz zero comuta com qualquer outra matriz, pois . Portanto, a matriz zero está em .
  2. Fechado por adição: Se e estão em , então e . Somando, , então comuta com , estando em .
  3. Fechado por multiplicação por escalar: Para um escalar e , temos . Logo, comuta com , estando em .
Conclusão: é um subespaço de .

Passo 5

(d)
  1. Matriz zero: Para a matriz zero, , então a matriz zero está em .
  2. Fechado por adição: Suponha que , ou seja, e . Porém, . Para que , precisaríamos que , o que nem sempre acontece. Assim, não é fechado por adição.
  3. Fechado por multiplicação por escalar: Mesmo que falhe na adição, vamos verificar a multiplicação. Para um escalar e , . Para que , precisaríamos que , o que só ocorre se ou . Portanto, não é fechado para todos os escalares.
Conclusão: NÃO é um subespaço de .

Passo 6

(e) a & b c & d
  1. Matriz zero: Para a matriz zero, , que não satisfaz a condição . Portanto, a matriz zero NÃO está em .
Conclusão: Como não contém a matriz zero, NÃO é um subespaço de .

Passo 7

(f) a & b c & d
  1. Matriz zero: Para a matriz zero, a & b c & d , então a matriz zero está em a' & b' c' & d' .
  2. Fechado por adição: Seja a + a' & b + b' c + c' & d + d' e em , isto é, e . A soma . O determinante de é . Expansão dá . Não necessariamente isso é igual a zero, então NÃO é fechado por adição.
  3. Fechado por multiplicação por escalar: Mesmo que falhe na adição, vamos verificar a multiplicação. Para um escalar e , . Então, está em .
Conclusão: Apesar de ser fechado por multiplicação por escalar e conter a matriz zero, ele NÃO é fechado por adição. Portanto, NÃO é um subespaço de .

Resposta

Os subconjuntos que são subespaços de a & b c & d são:
  • (a)
  • ©
Os demais subconjuntos não satisfazem todos os critérios para serem subespaços.

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