Determine a equação do plano , definido pelas retas e
Resposta: 8 x-11 y+z+5=0
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinarmos a equação de um plano pi que é definido pelas retas r e s. Isso está dentro do conteúdo de Geometria Analítica, especificamente sobre planos e retas no espaço tridimensional. Para resolver isso, a gente vai precisar entender como encontrar a equação de um plano a partir de duas retas que estão nesse plano. Vamos fazer isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as informações das retas r e s. A reta r está parametrizada por (x, y, z) = (-1, 0, 3) + t(2, 1, -5), onde t é um parâmetro. Isso significa que um ponto na reta r é (-1, 0, 3) e o vetor diretor da reta é (2, 1, -5).
Já a reta s está dada por:
x = t y = t - 3 z = 3t - 38
Aqui, t também é um parâmetro. Podemos reescrever isso como (x, y, z) = (0, -3, -38) + t(1, 1, 3). Ou seja, um ponto na reta s é (0, -3, -38) e o vetor diretor é (1, 1, 3).
Passo 3
Agora, para encontrar a equação do plano pi, precisamos de um ponto que esteja no plano e de um vetor normal ao plano. Sabemos que ambos os pontos (-1, 0, 3) de r e (0, -3, -38) de s estão no plano.
Além disso, os vetores diretores das retas r e s, que são (2, 1, -5) e (1, 1, 3) respectivamente, estão contidos no plano. O vetor normal ao plano pode ser encontrado usando o produto vetorial desses dois vetores diretores.
Passo 4
Vamos calcular o produto vetorial dos vetores diretores u = (2, 1, -5) e v = (1, 1, 3). O produto vetorial n = u times v é dado por: