Determine a equação do plano pi, definido pelas retas
r:(x, y, z)=(-1,0,3)+t(2,1,-5) e s:cx=t y=t-3 z=3 t-38
Resposta: 8 x-11 y+z+5=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinarmos a equação de um plano pi que é definido pelas retas r e s. Isso está dentro do conteúdo de Geometria Analítica, especificamente sobre planos e retas no espaço tridimensional. Para resolver isso, a gente vai precisar entender como encontrar a equação de um plano a partir de duas retas que estão nesse plano. Vamos fazer isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as informações das retas r e s. A reta r está parametrizada por (x, y, z) = (-1, 0, 3) + t(2, 1, -5), onde t é um parâmetro. Isso significa que um ponto na reta r é (-1, 0, 3) e o vetor diretor da reta é (2, 1, -5).
Já a reta s está dada por:
x = t y = t - 3 z = 3t - 38
Aqui, t também é um parâmetro. Podemos reescrever isso como (x, y, z) = (0, -3, -38) + t(1, 1, 3). Ou seja, um ponto na reta s é (0, -3, -38) e o vetor diretor é (1, 1, 3).

Passo 3

Agora, para encontrar a equação do plano pi, precisamos de um ponto que esteja no plano e de um vetor normal ao plano. Sabemos que ambos os pontos (-1, 0, 3) de r e (0, -3, -38) de s estão no plano.
Além disso, os vetores diretores das retas r e s, que são (2, 1, -5) e (1, 1, 3) respectivamente, estão contidos no plano. O vetor normal ao plano pode ser encontrado usando o produto vetorial desses dois vetores diretores.

Passo 4

Vamos calcular o produto vetorial dos vetores diretores u = (2, 1, -5) e v = (1, 1, 3). O produto vetorial n = u times v é dado por:
n = i & j & k 2 & 1 & -5 1 & 1 & 3
Calculando o determinante:
n = i(1 cdot 3 - (-5) cdot 1) - j(2 cdot 3 - (-5) cdot 1) + k(2 cdot 1 - 1 cdot 1)
n = i(3 + 5) - j(6 + 5) + k(2 - 1)
n = i(8) - j(11) + k(1)
n = (8, -11, 1)
Então, o vetor normal ao plano pi é n = (8, -11, 1).

Passo 5

Agora que temos o vetor normal, podemos usar a equação geral do plano:
A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0
Onde (A, B, C) são as componentes do vetor normal e (x0, y0, z0) é um ponto no plano.
Vamos usar o ponto (-1, 0, 3) da reta r como ponto no plano. Substituindo os valores:
8(x - (-1)) - 11(y - 0) + 1(z - 3) = 0
8(x + 1) - 11y + (z - 3) = 0
8x + 8 - 11y + z - 3 = 0
8x - 11y + z + 5 = 0

Resposta

A equação do plano pi é 8,x - 11,y + z + 5 = 0.

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