Determine a equação do plano , definido pelas retas
e
Resposta:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinarmos a equação de um plano que é definido pelas retas e . Isso está dentro do conteúdo de Geometria Analítica, especificamente sobre planos e retas no espaço tridimensional. Para resolver isso, a gente vai precisar entender como encontrar a equação de um plano a partir de duas retas que estão nesse plano. Vamos fazer isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as informações das retas e . A reta está parametrizada por , onde é um parâmetro. Isso significa que um ponto na reta é e o vetor diretor da reta é .
Já a reta está dada por:
Aqui, também é um parâmetro. Podemos reescrever isso como . Ou seja, um ponto na reta é e o vetor diretor é .

Passo 3

Agora, para encontrar a equação do plano , precisamos de um ponto que esteja no plano e de um vetor normal ao plano. Sabemos que ambos os pontos de e de estão no plano.
Além disso, os vetores diretores das retas e , que são e respectivamente, estão contidos no plano. O vetor normal ao plano pode ser encontrado usando o produto vetorial desses dois vetores diretores.

Passo 4

Vamos calcular o produto vetorial dos vetores diretores e . O produto vetorial é dado por:
Calculando o determinante:
Então, o vetor normal ao plano é .

Passo 5

Agora que temos o vetor normal, podemos usar a equação geral do plano:
Onde são as componentes do vetor normal e é um ponto no plano.
Vamos usar o ponto da reta como ponto no plano. Substituindo os valores:

Resposta

A equação do plano é .

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Seja o operador linear dado por
onde é uma base de . Verifique que é diagonalizável.
Resposta:
(a) Verifique que a reta é paralela ao plano .
Respostas: a) é paralela, pois
Sejam os vetores e . Encontre os componentes do vetor que satisfazem a equação .
Resposta: