Seja o operador linear dado por
onde é uma base de . Verifique que é diagonalizável.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se o operador linear é diagonalizável. Isso envolve entender a matriz que representa na base dada . Para resolver isso, vamos precisar trabalhar com autovalores e autovetores, além de entender o que significa uma matriz ser diagonalizável.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que uma matriz é diagonalizável se ela pode ser escrita como , onde é uma matriz diagonal e é uma matriz invertível cujas colunas são os autovetores de . Para encontrar se isso é possível, precisamos encontrar os autovalores de e verificar se temos um conjunto completo de autovetores linearmente independentes.

Passo 3

Vamos começar encontrando os autovalores de . Para isso, precisamos calcular o polinômio característico da matriz . O polinômio característico é dado por , onde é a matriz identidade e representa os autovalores.

Passo 4

A matriz fica:
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz:
Simplificando:

Passo 5

Vamos multiplicar os termos:
Primeiro, expandindo :
Então, temos:
Multiplicando pelos termos dentro:
Simplificando:
E subtraindo :
Rearranjando:

Passo 6

Para encontrar os autovalores, resolvemos a equação . Podemos multiplicar ambos os lados por -1 para facilitar:
Vamos tentar encontrar raízes racionais usando o Teorema das Raízes Racionais. Possíveis raízes são divisores de 6: .
Testando :
Testando :
Então, é uma raiz. Agora, vamos fazer a divisão polinomial para fatorar.

Passo 7

Dividindo por :
Usando a regra de Ruffini:
Então, o polinômio fatorado é .
Portanto, os autovalores são , , e .

Passo 8

Agora que temos os autovalores distintos, sabemos que a matriz tem três autovalores diferentes. Em espaços vetoriais como , se uma matriz tem autovalores distintos, ela é diagonalizável porque podemos encontrar autovetores linearmente independentes.

Passo 9

Portanto, já que identificamos três autovalores distintos para uma matriz 3x3, podemos concluir que o operador linear é diagonalizável.

Resposta

O operador linear é diagonalizável.

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e
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