onde é uma base de . Verifique que é diagonalizável.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se o operador linear é diagonalizável. Isso envolve entender a matriz que representa na base dada . Para resolver isso, vamos precisar trabalhar com autovalores e autovetores, além de entender o que significa uma matriz ser diagonalizável.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que uma matriz é diagonalizável se ela pode ser escrita como , onde é uma matriz diagonal e é uma matriz invertível cujas colunas são os autovetores de . Para encontrar se isso é possível, precisamos encontrar os autovalores de e verificar se temos um conjunto completo de autovetores linearmente independentes.
Passo 3
Vamos começar encontrando os autovalores de . Para isso, precisamos calcular o polinômio característico da matriz . O polinômio característico é dado por , onde é a matriz identidade e representa os autovalores.
Passo 4
A matriz fica:
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz:
Simplificando:
Passo 5
Vamos multiplicar os termos:
Primeiro, expandindo :
Então, temos:
Multiplicando pelos termos dentro:
Simplificando:
E subtraindo :
Rearranjando:
Passo 6
Para encontrar os autovalores, resolvemos a equação . Podemos multiplicar ambos os lados por -1 para facilitar:
Vamos tentar encontrar raízes racionais usando o Teorema das Raízes Racionais. Possíveis raízes são divisores de 6: .
Testando :
Testando :
Então, é uma raiz. Agora, vamos fazer a divisão polinomial para fatorar.
Passo 7
Dividindo por :
Usando a regra de Ruffini:
Então, o polinômio fatorado é .
Portanto, os autovalores são , , e .
Passo 8
Agora que temos os autovalores distintos, sabemos que a matriz tem três autovalores diferentes. Em espaços vetoriais como , se uma matriz tem autovalores distintos, ela é diagonalizável porque podemos encontrar autovetores linearmente independentes.
Passo 9
Portanto, já que identificamos três autovalores distintos para uma matriz 3x3, podemos concluir que o operador linear é diagonalizável.