onde alpha=(1,1,1),(0,1,0),(0,0,1) é uma base de R^3. Verifique que T é diagonalizável.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se o operador linear é diagonalizável. Isso envolve entender a matriz que representa na base dada . Para resolver isso, vamos precisar trabalhar com autovalores e autovetores, além de entender o que significa uma matriz ser diagonalizável.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que uma matriz é diagonalizável se ela pode ser escrita como , onde é uma matriz diagonal e é uma matriz invertível cujas colunas são os autovetores de . Para encontrar se isso é possível, precisamos encontrar os autovalores de e verificar se temos um conjunto completo de autovetores linearmente independentes.
Passo 3
Vamos começar encontrando os autovalores de . Para isso, precisamos calcular o polinômio característico da matriz . O polinômio característico é dado por , onde é a matriz identidade e representa os autovalores.
Agora que temos os autovalores distintos, sabemos que a matriz tem três autovalores diferentes. Em espaços vetoriais como , se uma matriz tem autovalores distintos, ela é diagonalizável porque podemos encontrar autovetores linearmente independentes.
Passo 9
Portanto, já que identificamos três autovalores distintos para uma matriz 3x3, podemos concluir que o operador linear é diagonalizável.