Seja T: R^3 R^3 o operador linear dado por
[T]alpha^alpha=(ccc 1 & 2 & 0 1 & -1 & 0 -1 & 0 & 2 )
onde alpha=(1,1,1),(0,1,0),(0,0,1) é uma base de R^3. Verifique que T é diagonalizável.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se o operador linear é diagonalizável. Isso envolve entender a matriz que representa na base dada . Para resolver isso, vamos precisar trabalhar com autovalores e autovetores, além de entender o que significa uma matriz ser diagonalizável.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que uma matriz é diagonalizável se ela pode ser escrita como , onde é uma matriz diagonal e é uma matriz invertível cujas colunas são os autovetores de . Para encontrar se isso é possível, precisamos encontrar os autovalores de e verificar se temos um conjunto completo de autovetores linearmente independentes.

Passo 3

Vamos começar encontrando os autovalores de . Para isso, precisamos calcular o polinômio característico da matriz . O polinômio característico é dado por , onde é a matriz identidade e representa os autovalores.

Passo 4

A matriz (ccc 1 - lambda & 2 & 0 1 & -1 - lambda & 0 -1 & 0 & 2 - lambda ) fica:
det([T]alpha^alpha - lambda I) = (1 - lambda)( (-1 - lambda)(2 - lambda) - 0 ) - 2(1 cdot (2 - lambda) - 0 cdot (-1) ) + 0
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz:
= (1 - lambda)((-1 - lambda)(2 - lambda)) - 2(2 - lambda)
Simplificando:

Passo 5

Vamos multiplicar os termos:
Primeiro, expandindo (-1)(2) + (-1)(-lambda) + (-lambda)(2) + (-lambda)(-lambda) = -2 + lambda - 2lambda + lambda^2 = -2 - lambda + lambda^2 :
(1 - lambda)(-2 - lambda + lambda^2) - 2(2 - lambda)
Então, temos:
1 cdot (-2 - lambda + lambda^2) - lambda cdot (-2 - lambda + lambda^2) = -2 - lambda + lambda^2 + 2lambda + lambda^2 - lambda^3
Multiplicando -2 + lambda + 2lambda^2 - lambda^3 pelos termos dentro:
-2 + lambda + 2lambda^2 - lambda^3 - 4 + 2lambda = -6 + 3lambda + 2lambda^2 - lambda^3
Simplificando:
-lambda^3 + 2lambda^2 + 3lambda - 6
E subtraindo :
Rearranjando:

Passo 6

Para encontrar os autovalores, resolvemos a equação lambda^3 - 2lambda^2 - 3lambda + 6 = 0 . Podemos multiplicar ambos os lados por -1 para facilitar:
1 - 2 - 3 + 6 = 2 neq 0
Vamos tentar encontrar raízes racionais usando o Teorema das Raízes Racionais. Possíveis raízes são divisores de 6: 8 - 8 - 6 + 6 = 0 .
Testando :
Testando :
Então, é uma raiz. Agora, vamos fazer a divisão polinomial para fatorar.

Passo 7

Dividindo 2 , | , 1 -2 -3 6 2 0 -6 ---------------- 1 0 -3 0 por :
Usando a regra de Ruffini:
Então, o polinômio fatorado é .
Portanto, os autovalores são , , e .

Passo 8

Agora que temos os autovalores distintos, sabemos que a matriz tem três autovalores diferentes. Em espaços vetoriais como , se uma matriz tem autovalores distintos, ela é diagonalizável porque podemos encontrar autovetores linearmente independentes.

Passo 9

Portanto, já que identificamos três autovalores distintos para uma matriz 3x3, podemos concluir que o operador linear é diagonalizável.

Resposta

O operador linear é diagonalizável.

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