Sejam os vetores u=(-3,1,2,4,4), v=(4,0,-8,1,2) e w=(6,-1,-4,3,-5). Encontre os componentes do vetor x que satisfazem a equação 3 u+v-2 w=3 x+2 w.
Resposta: x=(-2,3 / 8,2,1 / 2,11 / 8)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação vetorial que envolve os vetores 3u + v - 2w = 3x + 2w , , e . A equação que temos é:
Aqui, estamos lidando com vetores em um espaço de 5 dimensões. Para resolver isso, vamos usar as operações de combinação linear dos vetores e propriedades das equações vetoriais. Precisaremos somar e subtrair vetores, além de igualar os componentes correspondentes.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir os valores dos vetores 3(-3, 1, 2, 4, 4) + (4, 0, -8, 1, 2) - 2(6, -1, -4, 3, -5) = 3x + 2(6, -1, -4, 3, -5) , e na equação:

Passo 3

Agora, vamos fazer as multiplicações escalares dentro dos termos:
(-9, 3, 6, 12, 12) + (4, 0, -8, 1, 2) - (12, -2, -8, 6, -10) = 3x + (12, -2, -8, 6, -10)

Passo 4

Em seguida, vamos somar e subtrair os vetores do lado esquerdo:
Primeiro, somamos (-9 + 4, 3 + 0, 6 + (-8), 12 + 1, 12 + 2) = (-5, 3, -2, 13, 14) com (-5 - 12, 3 - (-2), -2 - (-8), 13 - 6, 14 - (-10)) = (-17, 5, 6, 7, 24) :
(-17, 5, 6, 7, 24) = 3x + (12, -2, -8, 6, -10)
Depois, subtraímos :
Então, a equação fica:

Passo 5

Agora, vamos isolar (-17, 5, 6, 7, 24) - (12, -2, -8, 6, -10) = 3x subtraindo (-17 - 12, 5 - (-2), 6 - (-8), 7 - 6, 24 - (-10)) = 3x de ambos os lados:
(-29, 7, 14, 1, 34) = 3x
Fazendo a subtração componente a componente:

Passo 6

Para encontrar o vetor x = ( -293, 73, 143, 13, 343 ) , dividimos cada componente por 3:
No entanto, parece que houve um erro nos cálculos anteriores. Vamos revisar:

Passo 7

Revisando os cálculos:
Após a etapa 4, tínhamos:
(-17, 5, 6, 7, 24) = 3x + (12, -2, -8, 6, -10)
Subtraindo (-17 - 12, 5 - (-2), 6 - (-8), 7 - 6, 24 - (-10)) = 3x :
(-29, 7, 14, 1, 34) = 3x
x = ( -293, 73, 143, 13, 343 )
Dividindo cada componente por 3:
Parece que o resultado fornecido anteriormente era diferente. Vamos conferir novamente.

Passo 8

Peço desculpas pela confusão. Vamos refazer a equação após a multiplicação:
Originalmente temos:
3u + v - 2w = 3x + 2w
Vamos reorganizar para isolar 3u + v - 2w - 2w = 3x :
3u + v - 4w = 3x
3(-3, 1, 2, 4, 4) + (4, 0, -8, 1, 2) - 4(6, -1, -4, 3, -5) = 3x
Agora, substituindo os vetores:
(-9, 3, 6, 12, 12) + (4, 0, -8, 1, 2) - (24, -4, -16, 12, -20) = 3x
Fazendo as multiplicações:
(-9 + 4 - 24, 3 + 0 - (-4), 6 + (-8) - (-16), 12 + 1 - 12, 12 + 2 - (-20))
Somando e subtraindo os vetores:
(-29, 7, 14, 1, 34) = 3x
x = ( -293, 73, 143, 13, 343 )
Dividindo por 3:
No entanto, isso não coincide com a resposta fornecida. Vamos verificar novamente.

Passo 9

Parece que houve um erro inicial na atribuição dos vetores ou nos cálculos. Vamos recalcular passo a passo:
Equação original:
3u + v - 2w = 3x + 2w
Isolando 3u + v - 4w = 3x :
x = 13(3u + v - 4w)
Dividindo por 3:
x = 13[3(-3,1,2,4,4) + (4,0,-8,1,2) - 4(6,-1,-4,3,-5)]
Agora, substituindo os valores:
3(-3,1,2,4,4) = (-9,3,6,12,12)
Calculando dentro dos colchetes:
-4(6,-1,-4,3,-5) = (-24,4,16,-12,20)
(-9,3,6,12,12) + (4,0,-8,1,2) + (-24,4,16,-12,20)
Somando tudo:
(-9 + 4 -24, 3 + 0 +4, 6 -8 +16, 12 +1 -12, 12 +2 +20)
(-29,7,14,1,34)
x = ( -293, 73, 143, 13, 343 )
Dividindo por 3:
Parece que a resposta correta é , diferente da que foi fornecida inicialmente.

Resposta

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