(1,0 ponto) Encontre t in R para os quais os vetores u=(2,0, t) e v=(t, 0,2) sejam colineares.

Passo 1

Vamos resolver um problema onde temos dois vetores, u = (2, 0, t) e v = (t, 0, 2). O objetivo é encontrar o valor de t que faz com que esses vetores sejam colineares. Para isso, vamos usar o conceito de vetores colineares, que basicamente significa que um vetor é múltiplo do outro.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que dois vetores são colineares se existe um número real k tal que u = k cdot v. Isso significa que cada componente de u deve ser igual ao múltiplo correspondente de v.

Passo 3

Vamos escrever a relação u = k cdot v componente a componente:
(2, 0, t) = k cdot (t, 0, 2)
Isso nos dá três equações:
  1. 2 = k cdot t
  2. 0 = k cdot 0
  3. t = k cdot 2

Passo 4

A segunda equação, 0 = k cdot 0, é sempre verdadeira, então não nos dá informações sobre k ou t. Vamos focar nas outras duas equações.

Passo 5

Da primeira equação, podemos expressar k em termos de t:
k = 2t
Da terceira equação, temos:
t = k cdot 2
Substituindo k da primeira equação na terceira:
t = (2t) cdot 2
t = 4t

Passo 6

Multiplicando ambos os lados por t para eliminar a fração:
t cdot t = 4
t^2 = 4
t = raiz4
t = 2 ou t = -2

Resposta

Os valores de t que tornam os vetores u e v colineares são t = 2 e t = -2.

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