Determine a equação do plano que é paralelo ao plano 3 x+2 y-4 z+2=0 e passa pelo ponto (1,1,-1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a equação de um plano que seja paralelo ao plano e que passe pelo ponto . Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos no espaço. Vamos precisar entender o que faz dois planos serem paralelos e como usar um ponto para determinar a equação do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o vetor normal do plano dado. O vetor normal é aquele que é perpendicular ao plano e pode ser extraído dos coeficientes de , e na equação do plano. No nosso caso, a equação é , então o vetor normal é .

Passo 3

Como queremos um plano paralelo ao plano dado, o vetor normal do nosso novo plano terá que ser o mesmo, ou seja, . Isso porque planos paralelos compartilham a mesma orientação no espaço, o que é garantido por vetores normais iguais.

Passo 4

Agora, vamos escrever a equação geral do nosso plano paralelo. Sabemos que a equação de um plano pode ser escrita como:
3x + 2y - 4z + D = 0
Aqui, é uma constante que precisamos determinar usando o ponto que o plano deve passar.

Passo 5

Para encontrar o valor de 3(1) + 2(1) - 4(-1) + D = 0 , vamos substituir as coordenadas do ponto 3 + 2 + 4 + D = 0 na equação do plano:
9 + D = 0
Vamos calcular passo a passo:
D = -9

Resposta

A equação do plano paralelo é:
3x + 2y - 4z - 9 = 0

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