É Falso ou Verdadeiro? Justifique suas respostas.
b. (15) Se A^3-3 A^2-I=0, então A^-1=A^2-3 A

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada na questão que você enviou. Estamos trabalhando com matrizes e equações envolvendo elas. A pergunta é: “Se , então ?”. Para resolver isso, vamos precisar entender como manipular equações com matrizes e como encontrar o inverso de uma matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a equação está nos dizendo. Aqui, significa a matriz multiplicada por ela mesma três vezes, é multiplicada por ela mesma duas vezes, e é a matriz identidade, que é como o número 1 para matrizes.

Passo 3

Nossa meta é encontrar , que é o inverso de . Lembra que uma matriz inversa tem a propriedade de que . Queremos mostrar se realmente é igual a .

Passo 4

Vamos começar reorganizando a equação dada:
A^3 - 3A^2 - I = 0
Podemos escrever isso como:
A^3 - 3A^2 = I

Passo 5

Agora, vamos fatorar A^2(A - 3I) = I na expressão à esquerda:
Aqui, usamos a propriedade distributiva da multiplicação de matrizes.

Passo 6

Para encontrar A^2(A - 3I) = I , queremos isolar A^-1 = A^2 - 3A na equação. Observamos que:
Isso sugere que:
Porque multiplicar por nos dá a matriz identidade .

Passo 7

Portanto, mostramos que a equação dada leva diretamente à expressão para como .

Resposta

Verdadeiro. A equação implica que .

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