Diga se o conjunto S é uma base para E=P2. Justifique.
3 t^2+2 t+1, t^2+t+1, t^2+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se o conjunto é uma base para . A matéria que estamos lidando aqui é o conceito de base em espaços vetoriais, especificamente no espaço dos polinômios de grau até 2. Para resolver isso, vamos precisar entender o que caracteriza uma base: ser linearmente independente e gerar todo o espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que é o espaço de todos os polinômios de grau no máximo 2, que tem dimensão 3 (com a base padrão ). Nosso conjunto também tem 3 polinômios, então para ser uma base, ele precisa ser linearmente independente.

Passo 3

Para verificar a independência linear, a gente monta uma combinação linear dos polinômios de c1(3 t^2 + 2 t + 1) + c2(t^2 + t + 1) + c3(t^2 + 1) = 0 igual a zero e verifica se a única solução é que os coeficientes sejam zero. Ou seja, queremos ver se:

Passo 4

Expandindo a equação, temos:
(3c1 + c2 + c3) t^2 + (2c1 + c2) t + (c1 + c2 + c3) = 0
Para essa igualdade valer para todo 3c1 + c2 + c3 = 0 2c1 + c2 = 0 c1 + c2 + c3 = 0 , os coeficientes de , e o termo constante devem ser iguais a zero:

Passo 5

Agora, vamos resolver esse sistema de equações:
Da segunda equação: 3c1 + (-2c1) + c3 = 0 Rightarrow c1 + c3 = 0 Rightarrow c3 = -c1
Substituindo c1 + (-2c1) + (-c1) = 0 Rightarrow -2c1 = 0 Rightarrow c1 = 0 na primeira equação:
Substituindo e na terceira equação:
Então, , e . A única solução é a trivial, o que indica que os polinômios são linearmente independentes.

Resposta

Sim, o conjunto é uma base para .

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