Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se o conjunto é uma base para . A matéria que estamos lidando aqui é o conceito de base em espaços vetoriais, especificamente no espaço dos polinômios de grau até 2. Para resolver isso, vamos precisar entender o que caracteriza uma base: ser linearmente independente e gerar todo o espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que é o espaço de todos os polinômios de grau no máximo 2, que tem dimensão 3 (com a base padrão ). Nosso conjunto também tem 3 polinômios, então para ser uma base, ele precisa ser linearmente independente.
Passo 3
Para verificar a independência linear, a gente monta uma combinação linear dos polinômios de igual a zero e verifica se a única solução é que os coeficientes sejam zero. Ou seja, queremos ver se:
Passo 4
Expandindo a equação, temos:
Para essa igualdade valer para todo , os coeficientes de , e o termo constante devem ser iguais a zero:
Passo 5
Agora, vamos resolver esse sistema de equações:
Da segunda equação: 3c1 + (-2c1) + c3 = 0 Rightarrow c1 + c3 = 0 Rightarrow c3 = -c1
Substituindo c1 + (-2c1) + (-c1) = 0 Rightarrow -2c1 = 0 Rightarrow c1 = 0 na primeira equação:
Substituindo e na terceira equação:
Então, , e . A única solução é a trivial, o que indica que os polinômios são linearmente independentes.