Determine a equação do plano que passa pela origem e é perpendicular aos planos x O y e y-2=0.

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a equação de um plano que passa pela origem e é perpendicular aos planos e . Isso envolve conceitos de geometria analítica, mais especificamente sobre vetores normais de planos e como determinar um plano perpendicular a outros.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar os vetores normais dos planos dados. O plano é o plano XY, cuja equação é . O vetor normal a esse plano é .

Passo 3

Agora, vamos olhar para o segundo plano, , que pode ser reescrito como . O vetor normal a esse plano é .

Passo 4

Queremos encontrar um plano que seja perpendicular a ambos os planos dados. Para isso, o vetor normal do nosso plano desejado, , precisa ser perpendicular aos vetores normais e .

Passo 5

Para encontrar um vetor que seja perpendicular a e , usamos o produto vetorial. Ou seja, calculamos .

Passo 6

Vamos calcular o produto vetorial:
n = i & j & k 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 = i(0 cdot 0 - 1 cdot 1) - j(0 cdot 0 - 1 cdot 0) + k(0 cdot 1 - 0 cdot 0) = (-1, 0, 0)
Então, o vetor normal é .

Passo 7

Com o vetor normal -1 cdot x + 0 cdot y + 0 cdot z = 0 e sabendo que o plano passa pela origem, a equação geral do plano é:
x = 0
Simplificando, temos:

Resposta

A equação do plano é .

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