Determine as equações paramétricas do plano .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício onde a gente precisa encontrar as equações paramétricas do plano . A gente vai mexer com geometria analítica, especificamente com planos no espaço tridimensional. Para isso, vamos precisar achar um ponto que esteja no plano e dois vetores que sejam paralelos ao plano. Com essas informações, a gente consegue escrever as equações paramétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos achar um ponto que esteja no plano. Para facilitar, podemos atribuir valores a duas das variáveis e resolver para a terceira. Por exemplo, vamos deixar e e resolver para .
Substituindo na equação do plano:
Então, um ponto no plano é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar dois vetores que são paralelos ao plano. Esses vetores podem ser obtidos escolhendo dois pontos diferentes no plano e calculando a diferença entre eles, ou encontrando vetores que satisfaçam a equação do plano sem afetar a posição.
Vamos escolher e para achar outro ponto.
Substituindo:
Então, temos o ponto .
O vetor que vai de para é:

Passo 4

Vamos achar mais um vetor paralelo ao plano. Vamos escolher outro valor, por exemplo, e .
Substituindo:
Então, temos o ponto .
O vetor que vai de para é:

Passo 5

Agora que temos um ponto no plano, , e dois vetores paralelos ao plano, e , podemos escrever as equações paramétricas do plano.
As equações paramétricas são dadas por:
Onde é o ponto no plano e e são os vetores paralelos.
Substituindo:

Resposta

As equações paramétricas do plano são:
Onde e são parâmetros reais.

Exercícios relacionados

Escreva a equação do plano:
paralelo ao plano unidades atrás dele.
Determine a equação do plano que passa pela origem e é perpendicular aos planos e .
Verificar se os seguintes conjuntos, com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar, são espaços vetoriais:
a.
b.
Escreva uma equação geral do plano paralelo ao eixo e que contenha e .