Beleza, vamos resolver esse exercício onde a gente precisa encontrar as equações paramétricas do plano . A gente vai mexer com geometria analítica, especificamente com planos no espaço tridimensional. Para isso, vamos precisar achar um ponto que esteja no plano e dois vetores que sejam paralelos ao plano. Com essas informações, a gente consegue escrever as equações paramétricas.
Passo 2
Primeiro, vamos achar um ponto que esteja no plano. Para facilitar, podemos atribuir valores a duas das variáveis e resolver para a terceira. Por exemplo, vamos deixar e e resolver para .
Substituindo na equação do plano:
Então, um ponto no plano é .
Passo 3
Agora, precisamos encontrar dois vetores que são paralelos ao plano. Esses vetores podem ser obtidos escolhendo dois pontos diferentes no plano e calculando a diferença entre eles, ou encontrando vetores que satisfaçam a equação do plano sem afetar a posição.
Vamos escolher e para achar outro ponto.
Substituindo:
Então, temos o ponto .
O vetor que vai de para é:
Passo 4
Vamos achar mais um vetor paralelo ao plano. Vamos escolher outro valor, por exemplo, e .
Substituindo:
Então, temos o ponto .
O vetor que vai de para é:
Passo 5
Agora que temos um ponto no plano, , e dois vetores paralelos ao plano, e , podemos escrever as equações paramétricas do plano.
As equações paramétricas são dadas por:
Onde (x0, y0, z0) é o ponto no plano e (a, c, e) e (b, d, f) são os vetores paralelos.
Substituindo:
x = 0 + 1 cdot s + 0 cdot t = s y = 0 + 0 cdot s + 1 cdot t = t z = 6 + 3 cdot s + 2 cdot t
Resposta
As equações paramétricas do plano pi: 3x + 2y - z + 6 = 0 são: