Determine as equações paramétricas do plano pi: 3 x+2 y-z+6=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício onde a gente precisa encontrar as equações paramétricas do plano pi: 3x + 2y - z + 6 = 0. A gente vai mexer com geometria analítica, especificamente com planos no espaço tridimensional. Para isso, vamos precisar achar um ponto que esteja no plano e dois vetores que sejam paralelos ao plano. Com essas informações, a gente consegue escrever as equações paramétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos achar um ponto que esteja no plano. Para facilitar, podemos atribuir valores a duas das variáveis e resolver para a terceira. Por exemplo, vamos deixar x = 0 e y = 0 e resolver para z.
Substituindo na equação do plano:
3(0) + 2(0) - z + 6 = 0
-z + 6 = 0
z = 6
Então, um ponto no plano é P(0, 0, 6).

Passo 3

Agora, precisamos encontrar dois vetores que são paralelos ao plano. Esses vetores podem ser obtidos escolhendo dois pontos diferentes no plano e calculando a diferença entre eles, ou encontrando vetores que satisfaçam a equação do plano sem afetar a posição.
Vamos escolher x = 1 e y = 0 para achar outro ponto.
Substituindo:
3(1) + 2(0) - z + 6 = 0
3 - z + 6 = 0
-z + 9 = 0
z = 9
Então, temos o ponto Q(1, 0, 9).
O vetor u que vai de P para Q é:
u = Q - P = (1-0, 0-0, 9-6) = (1, 0, 3)

Passo 4

Vamos achar mais um vetor paralelo ao plano. Vamos escolher outro valor, por exemplo, x = 0 e y = 1.
Substituindo:
3(0) + 2(1) - z + 6 = 0
2 - z + 6 = 0
-z + 8 = 0
z = 8
Então, temos o ponto R(0, 1, 8).
O vetor v que vai de P para R é:
v = R - P = (0-0, 1-0, 8-6) = (0, 1, 2)

Passo 5

Agora que temos um ponto no plano, P(0, 0, 6), e dois vetores paralelos ao plano, u = (1, 0, 3) e v = (0, 1, 2), podemos escrever as equações paramétricas do plano.
As equações paramétricas são dadas por:
x = x0 + a cdot s + b cdot t y = y0 + c cdot s + d cdot t z = z0 + e cdot s + f cdot t
Onde (x0, y0, z0) é o ponto no plano e (a, c, e) e (b, d, f) são os vetores paralelos.
Substituindo:
x = 0 + 1 cdot s + 0 cdot t = s y = 0 + 0 cdot s + 1 cdot t = t z = 6 + 3 cdot s + 2 cdot t

Resposta

As equações paramétricas do plano pi: 3x + 2y - z + 6 = 0 são:
x = s y = t z = 6 + 3s + 2t
Onde s e t são parâmetros reais.

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