Encontre os máximos e mínimos absolutos das funções no conjunto : é a região triangular no primeiro quadrante limitada pelas retas e .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar os máximos e mínimos absolutos da função no conjunto , que é uma região triangular no primeiro quadrante delimitada pelas retas , e . Para resolver isso, vamos utilizar técnicas de otimização de funções de duas variáveis em regiões fechadas.
Passo 2
Vamos identificar os limites do conjunto . Como é um triângulo no primeiro quadrante, temos:
Isso define uma região triangular com vértices em , e .
Passo 3
O próximo passo é encontrar os pontos críticos da função dentro da região . Para isso, calculamos as derivadas parciais de em relação a e e as igualamos a zero.
As derivadas parciais são:
Passo 4
Igualando as derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Portanto, o ponto crítico é .
Passo 5
Vamos verificar se o ponto está dentro da região . Substituindo na inequação :
Como , o ponto está dentro de .
Passo 6
Agora, calculamos o valor da função no ponto crítico:
Passo 7
Além dos pontos críticos no interior, os extremos absolutos podem ocorrer nas bordas de . Vamos analisar cada uma das retas que delimitam :
Reta :
A função se torna .
Reta :
A função se torna .
Reta :
Substituindo por , a função fica .
Passo 8
Vamos analisar cada reta:
1. Reta
A função é .
Para encontrar os extremos, derivamos em relação a :
Igualando a zero:
Calculando os valores nos limites de (0 e 9):
Em :
Em :
Em :
2. Reta
A função é .
Derivando em relação a :
Igualando a zero:
Calculando os valores nos limites de (0 e 9):
Em :
Em :
Em :
3. Reta
Substituindo na função:
Simplificando:
Derivando em relação a :
Igualando a zero:
Calculando os valores nos limites de (0 e 9):
Em :
Em :
Em :
Passo 9
Agora, vamos comparar todos os valores obtidos:
Ponto crítico interno :
Reta : máximo , mínimo
Reta : máximo , mínimo
Reta : máximo , mínimo
O maior valor obtido é 4 no ponto . O menor valor é -61, que ocorre nos pontos , e .
Resposta
O máximo absoluto da função na região é 4, atingido no ponto , e o mínimo absoluto é -61, atingido nos pontos , e .