Encontre os máximos e mínimos absolutos das funções no conjunto :
é a região triangular no primeiro quadrante limitada pelas retas e .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar os máximos e mínimos absolutos da função no conjunto , que é uma região triangular no primeiro quadrante delimitada pelas retas , e . Para resolver isso, vamos utilizar técnicas de otimização de funções de duas variáveis em regiões fechadas.

Passo 2

Vamos identificar os limites do conjunto . Como é um triângulo no primeiro quadrante, temos:
Isso define uma região triangular com vértices em , e .

Passo 3

O próximo passo é encontrar os pontos críticos da função dentro da região . Para isso, calculamos as derivadas parciais de em relação a e e as igualamos a zero.
As derivadas parciais são:

Passo 4

Igualando as derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Portanto, o ponto crítico é .

Passo 5

Vamos verificar se o ponto está dentro da região . Substituindo na inequação :
Como , o ponto está dentro de .

Passo 6

Agora, calculamos o valor da função no ponto crítico:

Passo 7

Além dos pontos críticos no interior, os extremos absolutos podem ocorrer nas bordas de . Vamos analisar cada uma das retas que delimitam :
  1. Reta :
    • A função se torna .
  2. Reta :
    • A função se torna .
  3. Reta :
    • Substituindo por , a função fica .

Passo 8

Vamos analisar cada reta:
1. Reta
A função é .
Para encontrar os extremos, derivamos em relação a :
Igualando a zero:
Calculando os valores nos limites de (0 e 9):
  • Em :
  • Em :
  • Em :
2. Reta
A função é .
Derivando em relação a :
Igualando a zero:
Calculando os valores nos limites de (0 e 9):
  • Em :
  • Em :
  • Em :
3. Reta
Substituindo na função:
Simplificando:
Derivando em relação a :
Igualando a zero:
Calculando os valores nos limites de (0 e 9):
  • Em :
  • Em :
  • Em :

Passo 9

Agora, vamos comparar todos os valores obtidos:
  • Ponto crítico interno :
  • Reta : máximo , mínimo
  • Reta : máximo , mínimo
  • Reta : máximo , mínimo
O maior valor obtido é 4 no ponto . O menor valor é -61, que ocorre nos pontos , e .

Resposta

O máximo absoluto da função na região é 4, atingido no ponto , e o mínimo absoluto é -61, atingido nos pontos , e .

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