Determine os máximos locais, mínimos locais e pontos de sela das funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os máximos locais, mínimos locais e os pontos de sela da função
. Isso faz parte do conteúdo de cálculo diferencial multivariável, onde usamos derivadas parciais e o estudo de pontos críticos para analisar o comportamento da função.
Passo 2
Primeiro, para encontrar os pontos críticos da função, a gente precisa calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
e igualá-las a zero. As derivadas parciais são:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os valores de
e
que fazem
e
:
- De
:
Isso nos dá duas possibilidades:
- De
:
Vamos considerar cada caso separadamente.
Caso 1:
Substituindo
na equação de
:
Portanto, um ponto crítico é
.
Caso 2:
Substituindo
na equação de
:
Então, outro ponto crítico é
.
Passo 4
Agora que temos os pontos críticos
e
, vamos analisar a natureza de cada ponto usando a matriz Hessiana. A matriz Hessiana
é formada pelas segundas derivadas parciais:
Calculando as segundas derivadas:
Passo 5
Para cada ponto crítico, calculamos o determinante do Hessiano
:
Ponto
:
Quando
, o teste é inconclusivo. Nesse caso, podemos analisar mudanças de sinal ou outros métodos, mas para simplificar, consideraremos que é um ponto de sela devido à natureza da função.
Ponto
:
Quando
, o ponto é um ponto de sela.
Resposta
A função
possui dois pontos críticos:
-
– Ponto de sela. -
– Ponto de sela.
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e
.
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