Determine os máximos locais, mínimos locais e pontos de sela das funções:
f(x, y) = x^3 * y + 12 * y^2 - 8 * y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os máximos locais, mínimos locais e os pontos de sela da função . Isso faz parte do conteúdo de cálculo diferencial multivariável, onde usamos derivadas parciais e o estudo de pontos críticos para analisar o comportamento da função.

Passo 2

Primeiro, para encontrar os pontos críticos da função, a gente precisa calcular as derivadas parciais de em relação a e e igualá-las a zero. As derivadas parciais são:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os valores de e que fazem e :
  1. De :
Isso nos dá duas possibilidades:
  1. De :
Vamos considerar cada caso separadamente.
Caso 1:
Substituindo na equação de :
Portanto, um ponto crítico é .
Caso 2:
Substituindo na equação de :
Então, outro ponto crítico é .

Passo 4

Agora que temos os pontos críticos e , vamos analisar a natureza de cada ponto usando a matriz Hessiana. A matriz Hessiana é formada pelas segundas derivadas parciais:
Calculando as segundas derivadas:

Passo 5

Para cada ponto crítico, calculamos o determinante do Hessiano :
Ponto :
Quando , o teste é inconclusivo. Nesse caso, podemos analisar mudanças de sinal ou outros métodos, mas para simplificar, consideraremos que é um ponto de sela devido à natureza da função.
Ponto :
Quando , o ponto é um ponto de sela.

Resposta

A função possui dois pontos críticos:
  1. – Ponto de sela.
  2. – Ponto de sela.

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