Determine as equações simétricas da reta normal à superfície
, no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar as equações simétricas da reta normal à superfície definida por
no ponto
. Isso envolve um pouco de cálculo vetorial, especificamente usando a derivada parcial para encontrar o vetor normal à superfície nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que a reta normal à superfície em um ponto específico é determinada pelo vetor gradiente da função
nesse ponto. O gradiente é basicamente um vetor que aponta na direção de maior inclinação da superfície e é perpendicular a ela.
Passo 3
Vamos calcular o gradiente de
. O gradiente é dado por:
Calculando as derivadas parciais:
Então, o gradiente é:
Passo 4
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto
:
Esse vetor
é o vetor normal à superfície no ponto dado.
Passo 5
Com o vetor normal e o ponto, podemos escrever a equação paramétrica da reta normal. As equações simétricas de uma reta são dadas por:
Onde
é um ponto na reta e
são as componentes do vetor diretor.
Passo 6
Substituindo os valores que temos:
Simplificando:
Resposta
As equações simétricas da reta normal à superfície no ponto
são:
Exercícios relacionados
Determine o vetor gradiente da função
.
Determine o vetor gradiente de
no ponto
e a taxa de variação na direção de
.
Determine a equação do plano tangente ao elipsoide
no ponto
Se
com média 80 e desvio padrão 10 , qual o
percentil?