Determine as equações simétricas da reta normal à superfície , no ponto .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar as equações simétricas da reta normal à superfície definida por no ponto . Isso envolve um pouco de cálculo vetorial, especificamente usando a derivada parcial para encontrar o vetor normal à superfície nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que a reta normal à superfície em um ponto específico é determinada pelo vetor gradiente da função nesse ponto. O gradiente é basicamente um vetor que aponta na direção de maior inclinação da superfície e é perpendicular a ela.

Passo 3

Vamos calcular o gradiente de . O gradiente é dado por:
Calculando as derivadas parciais:
Então, o gradiente é:

Passo 4

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto :
Esse vetor é o vetor normal à superfície no ponto dado.

Passo 5

Com o vetor normal e o ponto, podemos escrever a equação paramétrica da reta normal. As equações simétricas de uma reta são dadas por:
Onde é um ponto na reta e são as componentes do vetor diretor.

Passo 6

Substituindo os valores que temos:
Simplificando:

Resposta

As equações simétricas da reta normal à superfície no ponto são:

Exercícios relacionados

Determine o vetor gradiente da função .
Determine o vetor gradiente de no ponto e a taxa de variação na direção de .
Determine a equação do plano tangente ao elipsoide no ponto
Se com média 80 e desvio padrão 10 , qual o percentil?