Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção em que isso ocorre. $(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a taxa de variação máxima da função
no ponto
e descobrir em qual direção essa taxa máxima ocorre. Para isso, vamos precisar usar o conceito de gradiente, que nos ajuda a entender como a função muda em diferentes direções.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a
e a
. As derivadas parciais nos dizem como a função muda quando mudamos apenas uma das variáveis, mantendo a outra constante.
A derivada parcial de
em relação a
é:
E a derivada parcial em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto
:
Lembrando que o cosseno é uma função par, então
.
Passo 4
A taxa de variação máxima é o módulo do vetor gradiente no ponto
. O vetor gradiente
é dado por:
Então, o módulo é:
Passo 5
A direção em que a taxa de variação máxima ocorre é a própria direção do vetor gradiente. Para encontrar isso, normalizamos o vetor gradiente:
Isso significa que a direção é de
em relação aos eixos, na direção positiva de
e negativa de
.
Resposta
A taxa de variação máxima de
no ponto
é
e ocorre na direção do vetor
.
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Determine a equação do plano tangente a função abaixo no ponto dado. $(f)
em
Determine a equação do plano tangente a função abaixo no ponto dado. $(a)
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Use a regra da cadeia para determinar
ou
. $(b)
e
Resolva a equação diferencial.