Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção em que isso ocorre. $(b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a taxa de variação máxima da função no ponto e descobrir em qual direção essa taxa máxima ocorre. Para isso, vamos precisar usar o conceito de gradiente, que nos ajuda a entender como a função muda em diferentes direções.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e a . As derivadas parciais nos dizem como a função muda quando mudamos apenas uma das variáveis, mantendo a outra constante.
A derivada parcial de em relação a é:
E a derivada parcial em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto :
Lembrando que o cosseno é uma função par, então .

Passo 4

A taxa de variação máxima é o módulo do vetor gradiente no ponto . O vetor gradiente é dado por:
Então, o módulo é:

Passo 5

A direção em que a taxa de variação máxima ocorre é a própria direção do vetor gradiente. Para encontrar isso, normalizamos o vetor gradiente:
çã
Isso significa que a direção é de em relação aos eixos, na direção positiva de e negativa de .

Resposta

A taxa de variação máxima de no ponto é e ocorre na direção do vetor .

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