Determine a equação do plano tangente das funções abaixo: , no ponto .

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a pergunta está pedindo. Precisamos encontrar a equação do plano tangente à função no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente de derivadas parciais, que nos ajudarão a determinar a inclinação do plano em relação às direções de e .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor de para identificar o ponto exato no qual vamos encontrar o plano tangente. Substituindo e na função:
Então, o ponto de tangência é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e . As derivadas parciais nos dizem como a função muda à medida que variamos apenas uma das variáveis, mantendo a outra constante. Elas são essenciais para determinar a inclinação do plano tangente.

Passo 4

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
E a derivada parcial de em relação a :

Passo 5

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto :

Passo 6

Com as derivadas parciais encontradas, podemos escrever a equação do plano tangente usando a fórmula:
Onde é o ponto de tangência.

Passo 7

Substituindo os valores que temos:
Simplificando:

Resposta

A equação do plano tangente é:

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Encontre a Jacobiana das funções abaixo no ponto correspondente. dada por no ponto , onde .
Determine a equação do plano tangente das funções abaixo: , no ponto .
Esboce o gráfico de considerando:
(a) Interseções com os eixos
(b) Pontos críticos
© Máximos e mínimos locais
(d) Intervalos de crescimento e decrescimento
(e) Limites no infinito
(f) Intervalos de concavidades
Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função que é paralela à reta .