Determine a equação do plano tangente das funções abaixo:
, no ponto
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a pergunta está pedindo. Precisamos encontrar a equação do plano tangente à função
no ponto
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente de derivadas parciais, que nos ajudarão a determinar a inclinação do plano em relação às direções de
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o valor de
para identificar o ponto exato no qual vamos encontrar o plano tangente. Substituindo
e
na função:
Então, o ponto de tangência é
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
. As derivadas parciais nos dizem como a função muda à medida que variamos apenas uma das variáveis, mantendo a outra constante. Elas são essenciais para determinar a inclinação do plano tangente.
Passo 4
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
E a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 5
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto
:
Passo 6
Com as derivadas parciais encontradas, podemos escrever a equação do plano tangente usando a fórmula:
Onde
é o ponto de tangência.
Passo 7
Substituindo os valores que temos:
Simplificando:
Resposta
A equação do plano tangente é:
Exercícios relacionados
Encontre a Jacobiana das funções abaixo no ponto correspondente.
dada por
no ponto
, onde
.
Determine a equação do plano tangente das funções abaixo:
, no ponto
.
Esboce o gráfico de
considerando:
(a) Interseções com os eixos
(b) Pontos críticos
© Máximos e mínimos locais
(d) Intervalos de crescimento e decrescimento
(e) Limites no infinito
(f) Intervalos de concavidades
(a) Interseções com os eixos
(b) Pontos críticos
© Máximos e mínimos locais
(d) Intervalos de crescimento e decrescimento
(e) Limites no infinito
(f) Intervalos de concavidades
Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função
que é paralela à reta
.