Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função que é paralela à reta .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função que seja paralela à reta . Vamos usar conceitos de derivadas e geometria analítica para isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que duas retas são paralelas se elas tiverem o mesmo coeficiente angular (ou seja, a mesma inclinação). A reta dada é , então o coeficiente angular é 4. Isso significa que a reta tangente que estamos procurando também terá inclinação 4.

Passo 3

Agora, para encontrar a reta tangente, precisamos saber onde a inclinação da função é igual a 4. A inclinação da função em qualquer ponto é dada pela derivada de . Vamos calcular a derivada de :

Passo 4

Sabemos que a inclinação da reta tangente deve ser 4, então igualamos a derivada a 4:
Agora, resolvemos para :

Passo 5

Encontramos que o ponto onde a inclinação da função é 4 está em . Agora, vamos encontrar o valor de nesse ponto substituindo na função original:
Então, o ponto de tangência é .

Passo 6

Com o ponto e a inclinação 4, podemos usar a fórmula da equação da reta:
Substituindo os valores:
Vamos simplificar isso:

Resposta

A equação da reta tangente é .

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(a) Interseções com os eixos
(b) Pontos críticos
© Máximos e mínimos locais
(d) Intervalos de crescimento e decrescimento
(e) Limites no infinito
(f) Intervalos de concavidades
Determine a equação do plano tangente das funções abaixo: , no ponto .
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