Esboce o gráfico de
considerando:
(a) Interseções com os eixos
(b) Pontos críticos
© Máximos e mínimos locais
(d) Intervalos de crescimento e decrescimento
(e) Limites no infinito
(f) Intervalos de concavidades
(a) Interseções com os eixos
(b) Pontos críticos
© Máximos e mínimos locais
(d) Intervalos de crescimento e decrescimento
(e) Limites no infinito
(f) Intervalos de concavidades
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício de esboçar o gráfico da função
. Esse problema envolve conceitos de cálculo, como interseções com os eixos, pontos críticos, máximos e mínimos locais, intervalos de crescimento e decrescimento, limites no infinito e concavidades. Para isso, vamos precisar calcular derivadas, resolver equações e analisar o comportamento da função em diferentes intervalos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as interseções com os eixos. As interseções com o eixo
acontecem quando
e as com o eixo
quando
.
Passo 3
Calculando a interseção com o eixo
:
Então, a função intercepta o eixo
no ponto
.
Passo 4
Para encontrar as interseções com o eixo
, resolvemos:
Fatorando:
Então, as interseções com o eixo
são nos pontos
,
e
.
Passo 5
Agora, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos ocorrem onde a primeira derivada é zero ou não existe. Vamos calcular a primeira derivada de
:
Passo 6
Igualando a primeira derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Portanto, os pontos críticos estão em
e
.
Passo 7
Vamos determinar se esses pontos críticos são máximos ou mínimos locais. Para isso, calculamos a segunda derivada:
Passo 8
Avaliando a segunda derivada nos pontos críticos:
-
Para
: Como a segunda derivada é positiva, temos um mínimo local. -
Para
: Como a segunda derivada é negativa, temos um máximo local.
Passo 9
Agora, vamos identificar os intervalos de crescimento e decrescimento da função. A função cresce onde a primeira derivada é positiva e decresce onde é negativa.
Analisando o sinal de
:
-
quando (a função está crescendo) -
quando (a função está decrescendo)
Passo 10
Vamos agora determinar os limites da função quando
tende ao infinito e a menos infinito.
Isso indica que a função tende para
quando
cresce sem limites e para
quando
diminui sem limites.
Passo 11
Por último, vamos analisar os intervalos de concavidade. Isso é feito observando a segunda derivada.
-
quando (a função é côncava para cima) -
quando (a função é côncava para baixo)
Resposta
O gráfico de
possui:
- Interseções nos pontos
, e com os eixos. - Pontos críticos em
(mínimo local) e (máximo local). - A função cresce nos intervalos
e , e decresce em . - Limites no infinito:
e . - Concavidade para baixo em
e concavidade para cima em .
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Determine a equação do plano tangente das funções abaixo:
, no ponto
.
Encontre a Jacobiana das funções abaixo no ponto correspondente.
dada por
no ponto
, onde
.
Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função
que é paralela à reta
.