Esboce o gráfico de considerando:
(a) Interseções com os eixos
(b) Pontos críticos
© Máximos e mínimos locais
(d) Intervalos de crescimento e decrescimento
(e) Limites no infinito
(f) Intervalos de concavidades

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício de esboçar o gráfico da função . Esse problema envolve conceitos de cálculo, como interseções com os eixos, pontos críticos, máximos e mínimos locais, intervalos de crescimento e decrescimento, limites no infinito e concavidades. Para isso, vamos precisar calcular derivadas, resolver equações e analisar o comportamento da função em diferentes intervalos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as interseções com os eixos. As interseções com o eixo acontecem quando e as com o eixo quando .

Passo 3

Calculando a interseção com o eixo :
Então, a função intercepta o eixo no ponto .

Passo 4

Para encontrar as interseções com o eixo , resolvemos:
Fatorando:
Então, as interseções com o eixo são nos pontos , e .

Passo 5

Agora, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos ocorrem onde a primeira derivada é zero ou não existe. Vamos calcular a primeira derivada de :

Passo 6

Igualando a primeira derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Portanto, os pontos críticos estão em e .

Passo 7

Vamos determinar se esses pontos críticos são máximos ou mínimos locais. Para isso, calculamos a segunda derivada:

Passo 8

Avaliando a segunda derivada nos pontos críticos:
  • Para :
    Como a segunda derivada é positiva, temos um mínimo local.
  • Para :
    Como a segunda derivada é negativa, temos um máximo local.

Passo 9

Agora, vamos identificar os intervalos de crescimento e decrescimento da função. A função cresce onde a primeira derivada é positiva e decresce onde é negativa.
Analisando o sinal de :
  • quando (a função está crescendo)
  • quando (a função está decrescendo)

Passo 10

Vamos agora determinar os limites da função quando tende ao infinito e a menos infinito.
Isso indica que a função tende para quando cresce sem limites e para quando diminui sem limites.

Passo 11

Por último, vamos analisar os intervalos de concavidade. Isso é feito observando a segunda derivada.
  • quando (a função é côncava para cima)
  • quando (a função é côncava para baixo)

Resposta

O gráfico de possui:
  • Interseções nos pontos , e com os eixos.
  • Pontos críticos em (mínimo local) e (máximo local).
  • A função cresce nos intervalos e , e decresce em .
  • Limites no infinito: e .
  • Concavidade para baixo em e concavidade para cima em .

Exercícios relacionados

Determine a equação do plano tangente das funções abaixo: , no ponto .
Encontre a Jacobiana das funções abaixo no ponto correspondente. dada por no ponto , onde .
Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função que é paralela à reta .
.