Encontre cada derivada parcial pela aplicação direta da fórmula.
f_y(1,-1), em que f(x, y) = 5xy^3 + 6x^2 + 11

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma função de duas variáveis, , e queremos encontrar a derivada parcial dessa função em relação a no ponto . Isso significa que vamos calcular . Para isso, precisamos saber como derivar funções com duas variáveis, focando apenas em uma delas enquanto tratamos a outra como constante.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada parcial. Quando temos uma função de duas variáveis, a derivada parcial em relação a é como se estivéssemos derivando a função em relação a , considerando como uma constante. Então, vamos derivar cada termo da função em relação a .

Passo 3

Vamos derivar cada parte da função:
  1. Primeiro termo:
    • Aqui, é tratado como constante.
    • A derivada de em relação a é .
    • Então, a derivada parcial desse termo é .
  2. Segundo termo:
    • Como não tem , a derivada em relação a é zero.
  3. Terceiro termo:
    • Constante, a derivada também é zero.

Passo 4

Agora, juntando tudo, a derivada parcial de em relação a é:

Passo 5

Agora, vamos substituir os valores de e pelo ponto dado, que é :

Passo 6

Calculando , que é 1:

Resposta

A derivada parcial é 15.

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