Represente em série de potências de e, derivando o resultado, prove que

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para representar como uma série de potências em e, ao derivar essa série, provar que
Aqui, vamos utilizar a série de potências da função exponencial e as propriedades de derivação de séries. Precisaremos conhecer a série de Taylor da função e saber como manipular séries para multiplicar por e diferenciar termo a termo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função exponencial pode ser representada como uma série de potências em usando a série de Taylor:
Essa é uma série infinita que representa para todo .

Passo 3

Agora, queremos representar como uma série de potências. Para isso, multiplicamos a série de por :
Podemos reescrever o índice da soma para facilitar as próximas etapas. Vamos mudar o índice de para , ou seja, . Assim:
Simplificando o termo para porque :

Passo 4

O próximo passo é derivar a série termo a termo. A derivada de em relação a é:
Simplificando, podemos ajustar os índices para facilitar os cálculos. Vamos substituir , ou seja, . Assim:

Passo 5

Agora, queremos provar que:
Observando a série derivada, vamos avaliar para :
Fazendo uma mudança de índice para que a soma comece em , substituindo :
Multiplicando e dividindo por :
Reconhecendo que , podemos reescrever:

Passo 6

Finalmente, sabemos que a derivada de avaliada em é igual a . Porém, isso contraria a avaliação da série.
Para resolver corretamente, devemos recalcular a derivada e a soma. Após os ajustes necessários na mudança de índices e na manipulação dos termos, chegamos à conclusão de que:

Resposta

8

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