Determine a equação do plano tangente ao gráfico de
(i) , no ponto .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação do plano tangente ao gráfico da função no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especialmente derivadas parciais. Vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a e no ponto dado.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor de . Substituindo e na função:
Então, o ponto em que vamos encontrar o plano tangente é .

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e .
Primeiro, a derivada parcial em relação a :
Usando a regra do produto:
Agora, a derivada parcial em relação a :

Passo 4

Vamos agora avaliar essas derivadas no ponto .
Para :
Para :

Passo 5

Com as derivadas parciais calculadas, podemos escrever a equação do plano tangente usando a fórmula:
Onde , e .
Substituindo os valores:

Passo 6

Vamos simplificar a equação:

Resposta

A equação do plano tangente é .

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Determine os seguintes limites:
(m) .
Calcule a derivada das funções:
Mostre que são diferenciáveis em as funções e .
Em quais intervalos do conjunto dos números reais as funções abaixo são contínuas ?
(e) .