Determine a equação do plano tangente ao gráfico de
(i)
, no ponto
.
(i)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação do plano tangente ao gráfico da função
no ponto
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especialmente derivadas parciais. Vamos precisar calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
no ponto dado.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o valor de
. Substituindo
e
na função:
Então, o ponto em que vamos encontrar o plano tangente é
.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Primeiro, a derivada parcial em relação a
:
Usando a regra do produto:
Agora, a derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Vamos agora avaliar essas derivadas no ponto
.
Para
:
Para
:
Passo 5
Com as derivadas parciais calculadas, podemos escrever a equação do plano tangente usando a fórmula:
Onde
,
e
.
Substituindo os valores:
Passo 6
Vamos simplificar a equação:
Resposta
A equação do plano tangente é
.
Exercícios relacionados
Determine os seguintes limites:
(m) .
(m)
Calcule a derivada
das funções:
Mostre que são diferenciáveis em
as funções
e
.
Em quais intervalos do conjunto dos números reais
as funções abaixo são contínuas ?
(e) .
(e)