Determine os seguintes limites:
(m) lim x +infty x cdot[ln (x+1)-ln (x)].

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Aqui estamos lidando com limites envolvendo funções logarítmicas. Para resolver isso, vamos precisar entender como se comporta a diferença de logaritmos quando cresce muito.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro dos colchetes usando propriedades dos logaritmos. Sabemos que ln(x+1) - ln(x) = ln(x+1x) . Aplicando isso:

Passo 3

Agora, simplificamos a fração dentro do logaritmo:
x+1x = 1 + 1x
Então, temos:
ln(1 + 1x)

Passo 4

Para ln(1 + 1x) approx 1x muito grande, é muito pequeno. Sabemos que quando é próximo de zero, . Aplicando essa aproximação:

Passo 5

Substituímos essa aproximação na expressão original do limite:
x cdot ln(1 + 1x) approx x cdot 1x = 1

Passo 6

Portanto, o limite quando tende a mais infinito é igual a 1.

Resposta

limx +infty x cdot[ln (x+1)-ln (x)] = 1

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