Mostre que são diferenciáveis em
as funções
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem duas funções:
e
. O objetivo é mostrar que ambas são diferenciáveis em
. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser diferenciável e como calcular derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre a função
. Essa função é bem tranquila, ela é linear, ou seja, combina as variáveis
e
de forma simples. Funções lineares são diferenciáveis em todo lugar porque elas mudam de maneira constante sem complicação.
Passo 3
Agora, vamos para a função
. Para provar que ela é diferenciável, precisamos calcular as derivadas parciais em relação a
e a
.
Passo 4
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
E a derivada parcial em relação a
:
Essas derivadas existem para todos os valores de
e
e são contínuas, já que são simplesmente as variáveis opostas.
Passo 5
Como as derivadas parciais de
existem e são contínuas em todo
, podemos concluir que
é diferenciável em todo o espaço.
Resposta
As funções
e
são diferenciáveis em
.
Exercícios relacionados
Determine a equação do plano tangente ao gráfico de
(i) , no ponto
.
(i)
Determine os seguintes limites:
(m) .
(m)
Em quais intervalos do conjunto dos números reais
as funções abaixo são contínuas ?
(e) .
(e)
Determine a equação do plano tangente ao gráfico de
(ii) , no ponto
.
(ii)