Mostre que são diferenciáveis em as funções e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas funções: e . O objetivo é mostrar que ambas são diferenciáveis em . Para isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser diferenciável e como calcular derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre a função . Essa função é bem tranquila, ela é linear, ou seja, combina as variáveis e de forma simples. Funções lineares são diferenciáveis em todo lugar porque elas mudam de maneira constante sem complicação.

Passo 3

Agora, vamos para a função . Para provar que ela é diferenciável, precisamos calcular as derivadas parciais em relação a e a .

Passo 4

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
E a derivada parcial em relação a :
Essas derivadas existem para todos os valores de e e são contínuas, já que são simplesmente as variáveis opostas.

Passo 5

Como as derivadas parciais de existem e são contínuas em todo , podemos concluir que é diferenciável em todo o espaço.

Resposta

As funções e são diferenciáveis em .

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Determine a equação do plano tangente ao gráfico de
(i) , no ponto .
Determine os seguintes limites:
(m) .
Em quais intervalos do conjunto dos números reais as funções abaixo são contínuas ?
(e) .
Determine a equação do plano tangente ao gráfico de
(ii) , no ponto .