Utilize a regra da cadeia para calcular d f / d t sendo f(x, y) = x^2 + 3y^2, x = sent e y = cost

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando a regra da cadeia, que é uma técnica para derivar funções compostas. Aqui, a função que queremos derivar é , onde e . Para isso, vamos precisar das derivadas parciais de em relação a e , além das derivadas de e em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e :
Essas derivadas nos mostram como muda quando apenas ou mudam.

Passo 3

Agora, precisamos das derivadas de e em relação a :
Isso nos indica como e mudam conforme varia.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia, que diz que:
Substituindo as derivadas que calculamos:

Passo 5

Agora, substituímos e na expressão:

Passo 6

Simplificando a expressão:

Resposta

A derivada de em relação a é:

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