Determine a equação do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função no ponto .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e queremos encontrar a equação do plano tangente e a reta normal ao gráfico dessa função no ponto .
Para resolver isso, vamos precisar usar:
Derivadas parciais para encontrar as inclinações do plano tangente.
A fórmula do plano tangente a uma superfície.
A definição de reta normal que é perpendicular ao plano tangente.
Passo 2
Vamos encontrar o ponto específico no gráfico da função. Calculando :
Então, o ponto em questão é .
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e . As derivadas parciais nos dão a inclinação da superfície nas direções e .
No ponto , temos:
Passo 4
Com as derivadas parciais, podemos escrever a equação do plano tangente usando a fórmula:
Substituindo , e :
Simplificando:
Passo 5
Agora, para encontrar a reta normal, precisamos do vetor normal ao plano tangente. Esse vetor é dado pelas derivadas parciais, ou seja, .
A equação paramétrica da reta normal que passa pelo ponto é:
Onde é o parâmetro.
Resposta
A equação do plano tangente é e a equação paramétrica da reta normal é: