Determine a equação do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função f(x, y) = x * y no ponto (1, 1, f(1, 1)).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e queremos encontrar a equação do plano tangente e a reta normal ao gráfico dessa função no ponto .
Para resolver isso, vamos precisar usar:
  • Derivadas parciais para encontrar as inclinações do plano tangente.
  • A fórmula do plano tangente a uma superfície.
  • A definição de reta normal que é perpendicular ao plano tangente.

Passo 2

Vamos encontrar o ponto específico no gráfico da função. Calculando :
Então, o ponto em questão é .

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e . As derivadas parciais nos dão a inclinação da superfície nas direções e .
No ponto , temos:

Passo 4

Com as derivadas parciais, podemos escrever a equação do plano tangente usando a fórmula:
Substituindo , e :
Simplificando:

Passo 5

Agora, para encontrar a reta normal, precisamos do vetor normal ao plano tangente. Esse vetor é dado pelas derivadas parciais, ou seja, .
A equação paramétrica da reta normal que passa pelo ponto é:
Onde é o parâmetro.

Resposta

A equação do plano tangente é e a equação paramétrica da reta normal é:
onde é um parâmetro real.

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