Verifique se função abaixo é diferenciável no ponto (0,0).
f(x, y) = { y / (x + y), se (x, y) ≠ (0, 0) ; 0, se (x, y) = (0, 0) }

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a função dada é diferenciável no ponto . Isso envolve conceitos de cálculo multivariável, como continuidade e derivadas parciais. Vamos precisar entender o que significa uma função ser diferenciável e como checar isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser diferenciável em um ponto. Basicamente, uma função de várias variáveis é diferenciável em um ponto se ela pode ser bem aproximada por um plano (uma função linear) nesse ponto. Isso implica que a função é contínua nesse ponto e que suas derivadas parciais existem e são contínuas.

Passo 3

Antes de mais nada, vamos verificar se a função é contínua no ponto . A continuidade é um requisito necessário para a diferenciabilidade. A função é dada por:
Vamos calcular o limite de quando se aproxima de .

Passo 4

Para verificar a continuidade, calculamos:
Vamos tentar abordar esse limite por diferentes caminhos para ver se ele é o mesmo independente do caminho escolhido.

Passo 5

Caminho 1:
Substituindo na função:
Esse limite depende de , o que significa que ele varia conforme o caminho escolhido.

Passo 6

Caminho 2:
Substituindo :
Aqui, o limite é 0.

Passo 7

Caminho 3:
Substituindo :
Nesse caso, o limite é 1.

Passo 8

Como obtivemos limites diferentes dependendo do caminho escolhido (por exemplo, 0, 1, ), isso significa que o limite não existe.

Passo 9

Como o limite não existe, a função não é contínua no ponto . E, como a continuidade é um pré-requisito para a diferenciabilidade, podemos concluir que a função não é diferenciável nesse ponto.

Resposta

A função não é diferenciável no ponto porque ela não é contínua nesse ponto.

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