Verifique se função abaixo é diferenciável no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a função dada é diferenciável no ponto
. Isso envolve conceitos de cálculo multivariável, como continuidade e derivadas parciais. Vamos precisar entender o que significa uma função ser diferenciável e como checar isso passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser diferenciável em um ponto. Basicamente, uma função de várias variáveis é diferenciável em um ponto se ela pode ser bem aproximada por um plano (uma função linear) nesse ponto. Isso implica que a função é contínua nesse ponto e que suas derivadas parciais existem e são contínuas.
Passo 3
Antes de mais nada, vamos verificar se a função
é contínua no ponto
. A continuidade é um requisito necessário para a diferenciabilidade. A função é dada por:
Vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de
.
Passo 4
Para verificar a continuidade, calculamos:
Vamos tentar abordar esse limite por diferentes caminhos para ver se ele é o mesmo independente do caminho escolhido.
Passo 5
Caminho 1:
Substituindo
na função:
Esse limite depende de
, o que significa que ele varia conforme o caminho escolhido.
Passo 6
Caminho 2:
Substituindo
:
Aqui, o limite é 0.
Passo 7
Caminho 3:
Substituindo
:
Nesse caso, o limite é 1.
Passo 8
Como obtivemos limites diferentes dependendo do caminho escolhido (por exemplo, 0, 1,
), isso significa que o limite
não existe.
Passo 9
Como o limite não existe, a função
não é contínua no ponto
. E, como a continuidade é um pré-requisito para a diferenciabilidade, podemos concluir que a função não é diferenciável nesse ponto.
Resposta
A função
não é diferenciável no ponto
porque ela não é contínua nesse ponto.