Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o limite:
Isso faz parte do estudo de cálculo de limites e derivadas. Para resolver, vamos precisar entender como calcular limites que resultam em expressões do tipo indeterminado
e como aplicar a definição de derivada.
Passo 2
Vamos substituir
por
na expressão para verificar o comportamento:
Obtemos uma forma indeterminada
, o que significa que precisamos de uma técnica especial para calcular o limite. Uma das maneiras mais eficientes é usar a definição de derivada.
Passo 3
A expressão do limite se assemelha à definição de derivada de uma função
no ponto
:
Aqui, podemos identificar que:
Portanto, estamos calculando
.
Passo 4
Vamos calcular a derivada de
:
Agora, substituímos
por
para encontrar
:
Resposta
O limite é igual a $ -\dfrac{n}{p^{n+1}} $