lim x p 1x^n-1p^nx-p

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o limite:
lim x p 1x^n-1p^nx-p
Isso faz parte do estudo de cálculo de limites e derivadas. Para resolver, vamos precisar entender como calcular limites que resultam em expressões do tipo indeterminado 00 e como aplicar a definição de derivada.

Passo 2

Vamos substituir x por p na expressão para verificar o comportamento:
1p^n-1p^np-p = 00
Obtemos uma forma indeterminada 00, o que significa que precisamos de uma técnica especial para calcular o limite. Uma das maneiras mais eficientes é usar a definição de derivada.

Passo 3

A expressão do limite se assemelha à definição de derivada de uma função f(x) no ponto p:
f'(p) = lim x p f(x) - f(p)x - p
Aqui, podemos identificar que:
f(x) = 1x^n
Portanto, estamos calculando f'(p).

Passo 4

Vamos calcular a derivada de f(x):
f(x) = x^-n f'(x) = -n x^-(n+1) = -nx^n+1
Agora, substituímos x por p para encontrar f'(p):
f'(p) = -np^n+1

Resposta

O limite é igual a $ -\dfrac{n}{p^{n+1}} $

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