Mostre que o limite abaixo não existe.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para mostrar que um certo limite não existe. Estamos lidando com limites de funções de duas variáveis, especificamente quando
se aproxima de
. Para resolver isso, vamos analisar o limite ao longo de diferentes caminhos e ver se obtemos resultados diferentes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função dada:
Queremos ver o que acontece com essa expressão quando
se aproxima de
.
Passo 3
Uma estratégia comum para mostrar que o limite não existe é calcular o limite ao longo de diferentes caminhos que levam a
. Se obtivermos resultados diferentes, concluímos que o limite geral não existe.
Passo 4
Primeiro caminho: Vamos considerar o caminho onde
.
Substituindo
na função:
Portanto, ao longo de
, o limite é 0.
Passo 5
Segundo caminho: Agora, vamos escolher um caminho diferente, por exemplo,
.
Substituindo
na função:
Agora, calculamos o limite quando
:
Então, ao longo de
, o limite também é 0.
Passo 6
Terceiro caminho: Vamos tentar outro caminho, por exemplo,
, onde
é um número positivo diferente de 1. Escolheremos
, então
.
Substituindo
na função:
Calculando o limite quando
:
Parece que ainda estamos obtendo 0. Vamos tentar um caminho diferente.
Passo 7
Quarto caminho: Vamos escolher
, ou seja,
.
Substituindo
na função:
Calculando o limite quando
:
Novamente, obtivemos 0. Vamos tentar um caminho que possa dar um resultado diferente.
Passo 8
Quinto caminho: Vamos escolher
, ou seja,
.
Substituindo
na função:
Fatorando
no denominador:
Calculando o limite quando
:
Parece que ainda estamos obtendo 0. Vamos tentar uma abordagem diferente.
Passo 9
Conclusão: Até aqui, tentamos vários caminhos e sempre obtivemos o limite igual a 0. Isso sugere que o limite pode existir e ser 0. No entanto, para garantir que o limite não existe, precisamos encontrar pelo menos um caminho que produza um resultado diferente.
Vamos tentar um caminho que não seja uma função de
, por exemplo,
.
Substituindo
na função:
Isso é indefinido, mas não nos dá informações adicionais. Portanto, com os caminhos testados, o limite parece ser 0.
Resposta
Após analisar vários caminhos, todos indicam que o limite é 0. Portanto, o limite existe e é igual a 0.