Mostre que o limite abaixo não existe.
lim (x, y) (0,0) x^2 y3 x^2+x y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para mostrar que um certo limite não existe. Estamos lidando com limites de funções de duas variáveis, especificamente quando se aproxima de . Para resolver isso, vamos analisar o limite ao longo de diferentes caminhos e ver se obtemos resultados diferentes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função dada:
x^2 y3 x^2+x y^2
Queremos ver o que acontece com essa expressão quando se aproxima de .

Passo 3

Uma estratégia comum para mostrar que o limite não existe é calcular o limite ao longo de diferentes caminhos que levam a . Se obtivermos resultados diferentes, concluímos que o limite geral não existe.

Passo 4

Primeiro caminho: Vamos considerar o caminho onde x^2 cdot 03 x^2 + x cdot 0^2 = 03x^2 = 0 .
Substituindo na função:
Portanto, ao longo de , o limite é 0.

Passo 5

Segundo caminho: Agora, vamos escolher um caminho diferente, por exemplo, x^2 cdot x3 x^2 + x cdot x^2 = x^33x^2 + x^3 = x3 + x .
Substituindo limx to 0 x3 + x = 03 + 0 = 0 na função:
Agora, calculamos o limite quando :
Então, ao longo de , o limite também é 0.

Passo 6

Terceiro caminho: Vamos tentar outro caminho, por exemplo, x^2 cdot x^23x^2 + x cdot (x^2)^2 = x^43x^2 + x cdot x^4 = x^43x^2 + x^5 = x^23 + x^3 , onde limx to 0 x^23 + x^3 = 03 + 0 = 0 é um número positivo diferente de 1. Escolheremos , então .
Substituindo na função:
Calculando o limite quando :
Parece que ainda estamos obtendo 0. Vamos tentar um caminho diferente.

Passo 7

Quarto caminho: Vamos escolher x^2 cdot x^1/23x^2 + x cdot (x^1/2)^2 = x^5/23x^2 + x cdot x = x^5/23x^2 + x^2 = x^5/24x^2 = x^1/24 , ou seja, limx to 0 x^1/24 = 0 .
Substituindo na função:
Calculando o limite quando :
Novamente, obtivemos 0. Vamos tentar um caminho que possa dar um resultado diferente.

Passo 8

Quinto caminho: Vamos escolher x^2 cdot x^1/33x^2 + x cdot (x^1/3)^2 = x^7/33x^2 + x cdot x^2/3 = x^7/33x^2 + x^5/3 = x^7/33x^2 + x^5/3 , ou seja, x^7/3x^5/3(3x^1/3 + 1) = x^2/33x^1/3 + 1 .
Substituindo limx to 0 x^2/33x^1/3 + 1 = 00 + 1 = 0 na função:
Fatorando no denominador:
Calculando o limite quando :
Parece que ainda estamos obtendo 0. Vamos tentar uma abordagem diferente.

Passo 9

Conclusão: Até aqui, tentamos vários caminhos e sempre obtivemos o limite igual a 0. Isso sugere que o limite pode existir e ser 0. No entanto, para garantir que o limite não existe, precisamos encontrar pelo menos um caminho que produza um resultado diferente.
Vamos tentar um caminho que não seja uma função de 0^2 cdot y3 cdot 0^2 + 0 cdot y^2 = 00 , por exemplo, .
Substituindo na função:
Isso é indefinido, mas não nos dá informações adicionais. Portanto, com os caminhos testados, o limite parece ser 0.

Resposta

Após analisar vários caminhos, todos indicam que o limite é 0. Portanto, o limite existe e é igual a 0.

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