Use a Regra da Cadeia para achar a derivada d z / d t quando z = x^3 + y^3, com x = cos(t) e y = 2 t.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar a Regra da Cadeia para encontrar a derivada quando temos , com e . A Regra da Cadeia é super útil para derivar funções compostas, ou seja, quando uma variável depende de outra que, por sua vez, depende de .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e . Isso significa derivar tratando como constante e depois tratando como constante.

Passo 3

Agora, precisamos derivar e em relação a .
Para :
Para :

Passo 4

Aplicamos agora a Regra da Cadeia, que nos diz que:
Substituindo as derivadas que encontramos:

Passo 5

Vamos substituir e na expressão acima:
Simplificando:

Resposta

A derivada é igual a .

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