Determine a equação do plano tangente à S3 (sela) no ponto 2, 1, 3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a equação do plano tangente à superfície no ponto . Isso está relacionado ao cálculo de derivadas parciais e à geometria dos planos tangentes. Vamos precisar saber como calcular derivadas parciais e usar a fórmula do plano tangente.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a equação da superfície . Geralmente, uma superfície pode ser representada por uma função . Supondo que seja definida dessa forma, identificamos .

Passo 3

Depois de identificar , calculamos as derivadas parciais de em relação a e a . Essas derivadas nos dão as inclinações da superfície nas direções e , respectivamente.

Passo 4

Com as derivadas parciais e no ponto , usamos a fórmula do plano tangente:
Essa fórmula basicamente ajusta o plano para tocar a superfície exatamente no ponto dado.

Passo 5

Substituímos os valores das derivadas parciais e da função no ponto na equação do plano tangente. Isso nos dará a equação final do plano tangente à superfície nesse ponto específico.

Resposta

A equação do plano tangente à no ponto é
onde e são as derivadas parciais de em e calculadas no ponto .

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<html><head></head><body><div>Avaliaçāo Parcial - Cálculo II<br>
Questões<br>
2,5 1. Considere as curvas <span class=“math-inline “>
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.566ex;” xmlns=“
http://www.w3.org/2000/svg” width=“30.694ex” height=“2.721ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -952.7 13566.8 1202.7”><title>r(t) = -2 e(t2) i - 3 j + ln(2t - 1) k</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D45F” d=“M21 287Q22 290 23 295T28 317T38 348T53 381T73 411T99 433T132 442Q161 442 183 430T214 408T225 388Q227 382 228 382T236 389Q284 441 347 441H350Q398 441 422 400Q430 381 430 363Q430 333 417 315T391 292T366 288Q346 288 334 299T322 328Q322 376 378 392Q356 405 342 405Q286 405 239 331Q229 315 224 298T190 165Q156 25 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 114 189T154 366Q154 405 128 405Q107 405 92 377T68 316T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z”></path></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(451,0)”><path data-c=“28” d=“M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 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<div>através do paralelogramo de vértices <span class="math-inline ">
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</body></html>
Calcule o valor dos seguintes limites se existirem
Apresente parametrizações para as quatro superfícies, incluindo os domínios;