Determine a equação do plano tangente à superfície dada no ponto especificado

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a equação do plano tangente à superfície no ponto específico . Para isso, vamos usar conceitos de derivadas e geometria analítica envolvendo planos tangentes a superfícies.

Passo 2

Para encontrar a equação do plano tangente, precisamos primeiro achar o vetor normal à superfície nesse ponto. Esse vetor normal é dado pelo gradiente da função que define a superfície.

Passo 3

A função que define a superfície é . O gradiente dessa função é . O gradiente aponta na direção normal à superfície.

Passo 4

No ponto , o gradiente fica . Então, o vetor normal ao plano tangente nesse ponto é .

Passo 5

Com o vetor normal e o ponto , usamos a equação do plano na forma ponto-normal: , onde é o vetor normal e é o ponto.

Passo 6

Substituindo os valores, temos , que simplifica para .

Resposta

A equação do plano tangente é .

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(b)
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