Resolva as integrais:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . Aqui, estamos lidando com funções trigonométricas, especificamente tangente e secante, elevadas a potências. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de integração envolvendo substituição e identidades trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão usando uma substituição. Vamos deixar . Para isso, precisamos calcular a derivada de em relação a :
Isso significa que .

Passo 3

Agora, vamos reescrever a integral em termos de :
Mas precisamos expressar em termos de . Sabemos que , então:

Passo 4

Substituindo de volta na integral:
Agora, precisamos expressar em termos de . Como , temos que . Então a integral fica:

Passo 5

Para resolver essa integral, vamos usar uma nova substituição. Seja , então , ou seja, . Reescrevendo a integral:
Sabemos que , então:

Passo 6

Agora, vamos integrar termo a termo:
Substituindo e :
E lembrando que :

Resposta

A integral é igual a:

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Determine uma parametrização para cada superfície abaixo.
A parte do plano que está dentro do cilindro
Encontre todos os pontos do gráfico da função onde a reta tangente é horizontal. Restrinja ao intervalo .
Escreva a fórmula do termo geral da sequência e determine seu limite (caso exista):
(b)
Determine a equação do plano tangente à superfície dada no ponto especificado