Resolva as integrais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral:
. Aqui, estamos lidando com funções trigonométricas, especificamente tangente e secante, elevadas a potências. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de integração envolvendo substituição e identidades trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão usando uma substituição. Vamos deixar
. Para isso, precisamos calcular a derivada de
em relação a
:
Isso significa que
.
Passo 3
Agora, vamos reescrever a integral em termos de
:
Mas precisamos expressar
em termos de
. Sabemos que
, então:
Passo 4
Substituindo de volta na integral:
Agora, precisamos expressar
em termos de
. Como
, temos que
. Então a integral fica:
Passo 5
Para resolver essa integral, vamos usar uma nova substituição. Seja
, então
, ou seja,
. Reescrevendo a integral:
Sabemos que
, então:
Passo 6
Agora, vamos integrar termo a termo:
Substituindo
e
:
E lembrando que
:
Resposta
A integral
é igual a:
Exercícios relacionados
Determine uma parametrização para cada superfície abaixo.
A parte do plano que está dentro do cilindro
A parte do plano
Encontre todos os pontos do gráfico da função
onde a reta tangente é horizontal. Restrinja
ao intervalo
.
Escreva a fórmula do termo geral
da sequência e determine seu limite (caso exista):
(b)
(b)
Determine a equação do plano tangente à superfície dada no ponto especificado