Resolva as integrais: integral tg^3(3 x) sec ^5(3 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: integral tan^3(3x) sec^5(3x) , dx. Aqui, estamos lidando com funções trigonométricas, especificamente tangente e secante, elevadas a potências. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de integração envolvendo substituição e identidades trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão usando uma substituição. Vamos deixar u = tan(3x). Para isso, precisamos calcular a derivada de u em relação a x:
du = ddx[tan(3x)] , dx = 3 sec^2(3x) , dx
Isso significa que dx = du3 sec^2(3x).

Passo 3

Agora, vamos reescrever a integral em termos de u:
integral tan^3(3x) sec^5(3x) , dx = integral u^3 sec^5(3x) cdot du3 sec^2(3x) = 13 integral u^3 sec^3(3x) , du
Mas precisamos expressar sec^3(3x) em termos de u. Sabemos que sec^2(3x) = 1 + tan^2(3x), então:
sec^3(3x) = sec(3x) cdot sec^2(3x) = sec(3x) (1 + u^2)

Passo 4

Substituindo de volta na integral:
13 integral u^3 sec(3x) (1 + u^2) , du
Agora, precisamos expressar sec(3x) em termos de u. Como u = tan(3x), temos que sec(3x) = raiz1 + u^2. Então a integral fica:
13 integral u^3 raiz1 + u^2 (1 + u^2) , du = 13 integral u^3 (1 + u^2)^3/2 , du

Passo 5

Para resolver essa integral, vamos usar uma nova substituição. Seja v = 1 + u^2, então dv = 2u , du, ou seja, u , du = dv2. Reescrevendo a integral:
13 integral u^3 v^3/2 , du = 13 integral u^2 cdot u cdot v^3/2 , du
Sabemos que u^2 = v - 1, então:
13 integral (v - 1) cdot v^3/2 cdot dv2 = 16 integral (v^5/2 - v^3/2) , dv

Passo 6

Agora, vamos integrar termo a termo:
16 ( v^7/272 - v^5/252 ) + C = 16 ( 27 v^7/2 - 25 v^5/2 ) + C = 121 v^7/2 - 115 v^5/2 + C
Substituindo v = 1 + u^2 e u = tan(3x):
121 (1 + tan^2(3x))^7/2 - 115 (1 + tan^2(3x))^5/2 + C
E lembrando que 1 + tan^2(3x) = sec^2(3x):
121 sec^7(3x) - 115 sec^5(3x) + C

Resposta

A integral integral tan^3(3x) sec^5(3x) , dx é igual a:
121 sec^7(3x) - 115 sec^5(3x) + C

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