Encontre a solução do problema de valor inicial dado (descrevendo os passos necessários para obter a solução analítica). Desenhe o gráfico da solução particular e de algumas outras soluções.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! Temos uma equação diferencial com uma condição inicial. O conteúdo que vamos usar aqui envolve equações diferenciais ordinárias e, mais especificamente, equações separáveis. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis, integrar ambos os lados e aplicar a condição inicial para encontrar a solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação que temos:
Aqui,
representa a derivada de
em relação a
. Nosso objetivo é encontrar uma função
que satisfaça essa equação e a condição inicial
.
Passo 3
Vamos tentar separar as variáveis
e
. Para isso, multiplicamos ambos os lados da equação por
e
:
Agora, temos todas as expressões em
de um lado e em
do outro, o que nos permite integrar ambos os lados separadamente.
Passo 4
Vamos integrar ambos os lados da equação:
Vamos resolver cada integral:
Para o lado esquerdo:
Para o lado direito:
Passo 5
Agora, igualamos as integrais e adicionamos a constante de integração
:
Essa é a solução geral da equação diferencial. Agora precisamos encontrar o valor de
usando a condição inicial
.
Passo 6
Substituímos
e
na equação geral para encontrar
:
Passo 7
Com o valor de
encontrado, nossa solução particular fica:
Podemos reorganizar para destacar
se desejarmos, mas muitas vezes essa forma implícita já é suficiente para análises ou gráficos.
Passo 8
Por fim, para desenhar o gráfico da solução particular e de outras soluções, podemos considerar diferentes valores de
na equação geral:
Cada valor de
nos dará uma curva diferente. A solução particular que encontramos corresponde a
. Podemos plotar essa equação no plano
para visualizar o comportamento da solução específica e comparar com outras soluções para diferentes constantes.
Resposta
A solução particular do problema de valor inicial é dada por: