2x/y^3 dx + (y^2 - 3x^2)/y^4 dy = 0
R. x^2 - y^2 = c*y^3

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação diferencial . Nosso foco aqui é resolver essa equação para encontrar uma relação entre e . Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais exatas e integrar fatores.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar se a equação é exata. Para isso, vamos chamar e . Uma equação diferencial da forma é exata se a derivada parcial de em relação a for igual à derivada parcial de em relação a .

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
Como , a equação é exata.

Passo 4

Agora que sabemos que a equação é exata, sabemos que existe uma função tal que:
Vamos integrar em relação a para encontrar :
Aqui, é uma função que depende somente de .

Passo 5

Para encontrar , derivamos em relação a e igualamos a :
Simplificando, temos:
Integrando em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, podemos escrever a função :
Como é constante, podemos igualar a uma constante :

Passo 7

Vamos simplificar essa expressão. Multiplicando todos os termos por para eliminar os denominadores:
Podemos renomear a constante para , ficando:

Resposta

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