R.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação diferencial
. Nosso foco aqui é resolver essa equação para encontrar uma relação entre
e
. Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais exatas e integrar fatores.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar se a equação é exata. Para isso, vamos chamar
e
. Uma equação diferencial da forma
é exata se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Passo 4
Agora que sabemos que a equação é exata, sabemos que existe uma função
tal que:
Vamos integrar
em relação a
para encontrar
:
Aqui,
é uma função que depende somente de
.
Passo 5
Para encontrar
, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Simplificando, temos:
Integrando
em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, podemos escrever a função
:
Como
é constante, podemos igualar a uma constante
:
Passo 7
Vamos simplificar essa expressão. Multiplicando todos os termos por
para eliminar os denominadores:
Podemos renomear a constante
para
, ficando: