R.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação diferencial . Nosso foco aqui é resolver essa equação para encontrar uma relação entre e . Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais exatas e integrar fatores.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar se a equação é exata. Para isso, vamos chamar e . Uma equação diferencial da forma é exata se a derivada parcial de em relação a for igual à derivada parcial de em relação a .

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
Como , a equação é exata.

Passo 4

Agora que sabemos que a equação é exata, sabemos que existe uma função tal que:
Vamos integrar em relação a para encontrar :
Aqui, é uma função que depende somente de .

Passo 5

Para encontrar , derivamos em relação a e igualamos a :
Simplificando, temos:
Integrando em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, podemos escrever a função :
Como é constante, podemos igualar a uma constante :

Passo 7

Vamos simplificar essa expressão. Multiplicando todos os termos por para eliminar os denominadores:
Podemos renomear a constante para , ficando:

Resposta

Exercícios relacionados

Determine uma equação do plano tangente à superfície parametrizada dada no ponto especificado: , para .
Calcule a integral , onde e o retângulo com vértices , , orientado no sentido anti-horário.

R.
Usando o cálculo dos resíduos, calcular cada uma das integrais seguintes:
(a) , onde .
(b) , onde .
Resposta:
© , onde .
(d) , onde e o triangulo com vértices e -3 , orientado no sentido anti-horário.
(e) , onde e o retângulo com vértices , , orientado no sentido anti-horário.
(f) , onde e o quadrilátero com vértices , orientado no sentido anti-horário.