Determine uma equação do plano tangente à superfície no ponto especificado.
z = 3(x-1)² + 2(y+3)² + 7, (2, -2, 12)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa achar a equação do plano tangente à superfície dada pela equação no ponto específico . Aqui estamos trabalhando com geometria analítica, especialmente com superfícies e planos tangentes. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função para encontrar a inclinação do plano tangente nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos confirmar que o ponto realmente está na superfície. Substituindo e na equação da superfície:
Então, o ponto está mesmo na superfície. Massa, isso é importante porque o plano tangente só existe naquele ponto se ele estiver na superfície.

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e . As derivadas parciais nos dizem como a função muda em cada direção.
Para :
Para :

Passo 4

Vamos calcular essas derivadas no ponto .
Para :
Para :

Passo 5

Com as derivadas parciais, podemos montar a equação do plano tangente. A fórmula geral é:
onde é o ponto de tangência.

Passo 6

Substituindo os valores que temos:
Agora, vamos simplificar essa expressão para deixar a equação mais bonita.

Passo 7

Distribuindo os termos:
Agrupando os termos semelhantes:

Resposta

A equação do plano tangente à superfície no ponto é:

Exercícios relacionados