Scjam
०
. Calcular
. Dê o domínio c o conjunto imagem de
.
Passo 1
Beleza, vamos por partes! O exercício pede para calcular a composição de funções
, onde
e
com
. Além disso, precisamos encontrar o domínio e o conjunto imagem de
,
e
. Para resolver isso, vamos lembrar de conceitos básicos de funções, composição de funções, domínio e imagem.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a composição
. Isso significa substituir
dentro de
. Ou seja:
Passo 3
Agora, substituímos
na função
:
Simplificando dentro da raiz:
Então,
Passo 4
Agora, vamos determinar o domínio de
. Para que a expressão dentro da raiz seja não negativa:
Resolvendo essa inequação:
Mas lembrando que
já está definida para
. Portanto, o domínio de
é
.
Passo 5
Vamos agora encontrar o conjunto imagem de cada função.
-
Para
: - Domínio:
- Como a raiz quadrada sempre resulta em valores não negativos, o conjunto imagem é
.
- Domínio:
-
Para
: - Domínio:
- Calculando
- Como a função é crescente, o conjunto imagem é
.
- Domínio:
-
Para
: - Domínio:
- Quando
, - Como a raiz quadrada cresce conforme aumenta
, o conjunto imagem é .
- Domínio:
Resposta
A composição das funções é
com domínio
. Os conjuntos imagem são:
-
: -
: -
: