Identificar as propriedades e características das seguintes funções a partir das suas representações gráficas (domínio, conjunto imagem, raízes, máximos e mínimos, crescimento e decrescimento).
(a) f(x) = x^2 + 8x + 14
(b) f(x) = -x^2 + 4x - 1
© y = (x - 2)²
(d) y = -(x + 2)²
© y = x^3
(f) y = 4 - x^3
(g) f(x) = |x|, -3 <= x <= 3
(h) f(x) = 1/(x-2)
(i) f(x) = -2 / (x + 3)
(j) f(x) = raiz(2 x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa identificar várias propriedades das funções que foram listadas, tipo domínio, imagem, raízes, máximos e mínimos, e também quando elas estão crescendo ou decrescendo. Vamos usar conceitos de funções polinomiais, funções absolutas, funções racionais e funções com raiz quadrada. Então, bora lá analisar cada uma dessas funções uma por uma!

Passo 2

(a)

Primeiro, vamos identificar o domínio. Essa é uma função polinomial do segundo grau, então o domínio é todos os números reais, ou seja, .
Para encontrar o conjunto imagem, sabemos que o gráfico é uma parábola voltada para cima (porque o coeficiente de é positivo). Vamos achar o vértice para saber o mínimo da função.
A fórmula do vértice é . Aqui, e , então:
Agora, substituímos na função para encontrar :
Então, o mínimo é , e o conjunto imagem é .
As raízes da função são onde . Vamos resolver a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são e .
Como a função é uma parábola voltada para cima, ela está decrescendo antes do vértice e crescendo depois.

Passo 3

Resposta

A função tem domínio , imagem , raízes em , um mínimo no ponto , está decrescendo para e crescendo para .

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