Determine uma equação do plano tangente à superfície no ponto especificado:
(b) , no ponto .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação do plano tangente à superfície definida por no ponto . Aqui, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas parciais, para chegar na solução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um plano tangente. Basicamente, o plano tangente a uma superfície em um ponto é o melhor plano que “encosta” na superfície naquele ponto, sem cruzá-la imediatamente. Para encontrarmos esse plano, precisamos saber as derivadas parciais da função em relação a e no ponto dado.

Passo 3

Vamos calcular o valor de no ponto . Substituindo e na equação da superfície:
Então, o ponto completo é .

Passo 4

Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e .
Primeiro, a derivada parcial em relação a :
Agora, a derivada parcial em relação a :

Passo 5

Vamos avaliar essas derivadas no ponto :
Para em :
Para em :

Passo 6

Agora que temos as derivadas parciais no ponto, podemos montar a equação do plano tangente usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Simplificando:

Resposta

A equação do plano tangente à superfície no ponto é:

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Muitas árvores possuem relações matemáticas conhecidas entre as medidas aproximadas da altura e do diâmetro do tronco, desde o instante em que as árvores são plantadas até completarem seu ciclo de vida. Considere uma árvore cujo crescimento é dado pelas funções temporais:
Altura (m):
Diâmetro do tronco
Se num determinado tempo após o plantio, a árvore possuir 3,4 metros de altura, o diâmetro do seu tronco será:
a)
b)
c)
d)
e)
Determine o maior conjunto onde a função abaixo é diferenciável:
Responda as perguntas abaixo, justificando suas respostas. A função cos é contínua? (Você pode usar aqui a continuidade da função sen para justificar a sua resposta.)
Determine os valores de e sabendo que a função passa pelos pontos e .