Determine uma equação do plano tangente à superfície no ponto especificado:
(b)
, no ponto
.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação do plano tangente à superfície definida por
no ponto
. Aqui, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas parciais, para chegar na solução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um plano tangente. Basicamente, o plano tangente a uma superfície em um ponto é o melhor plano que “encosta” na superfície naquele ponto, sem cruzá-la imediatamente. Para encontrarmos esse plano, precisamos saber as derivadas parciais da função em relação a
e
no ponto dado.
Passo 3
Vamos calcular o valor de
no ponto
. Substituindo
e
na equação da superfície:
Então, o ponto completo é
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Primeiro, a derivada parcial em relação a
:
Agora, a derivada parcial em relação a
:
Passo 5
Vamos avaliar essas derivadas no ponto
:
Para
em
:
Para
em
:
Passo 6
Agora que temos as derivadas parciais no ponto, podemos montar a equação do plano tangente usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Resposta
A equação do plano tangente à superfície no ponto
é: