Determine o maior conjunto onde a função abaixo é diferenciável:

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma função que é definida de duas formas diferentes dependendo de onde estiver no plano . Queremos descobrir qual é o maior conjunto de pontos onde essa função é diferenciável. Para isso, vamos precisar saber sobre diferenciabilidade de funções de várias variáveis e entender como a função se comporta em diferentes regiões do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a definição da função:
Isso quer dizer que dentro do círculo de raio 1 (onde ), a função é uma expressão exponencial, e fora ou na fronteira desse círculo (onde ), a função vale zero.

Passo 3

Para achar onde é diferenciável, precisamos verificar onde ela é suave, ou seja, onde não tem “quebras” ou “saltos”. Vemos que dentro do círculo ( ) a função é bem comportada porque é uma composição de funções diferenciáveis (exponencial e polinomial). Fora do círculo ( ), a função é constante, que também é diferenciável.

Passo 4

O ponto crítico é na fronteira do círculo, onde . Aqui, a função muda de uma expressão para outra. Precisamos verificar se as derivadas parciais existem e são contínuas nesse ponto. Observando a função, percebemos que há uma descontinuidade nas derivadas quando , porque a expressão muda abruptamente de uma função exponencial para zero.

Passo 5

Como as derivadas não são contínuas na fronteira , a função não é diferenciável nesse conjunto de pontos. Portanto, é diferenciável em todos os pontos onde .

Resposta

O maior conjunto onde a função é diferenciável é dado por todos os pontos onde .

Exercícios relacionados

Nos exercícios abaixo, responda qual das derivadas mistas de segunda ordem se pode calcular de maneira mais rápida: ou ? Tente responder a esta questão antes de calcular as derivadas.
(b)
Nos itens abaixo, encontre uma equação para a curva de nível da função que passa pelo ponto dado:
(a) , no ponto .
Muitas árvores possuem relações matemáticas conhecidas entre as medidas aproximadas da altura e do diâmetro do tronco, desde o instante em que as árvores são plantadas até completarem seu ciclo de vida. Considere uma árvore cujo crescimento é dado pelas funções temporais:
Altura (m):
Diâmetro do tronco
Se num determinado tempo após o plantio, a árvore possuir 3,4 metros de altura, o diâmetro do seu tronco será:
a)
b)
c)
d)
e)
Determine uma equação do plano tangente à superfície no ponto especificado:
(b) , no ponto .