Muitas árvores possuem relações matemáticas conhecidas entre as medidas aproximadas da altura e do diâmetro do tronco, desde o instante em que as árvores são plantadas até completarem seu ciclo de vida. Considere uma árvore cujo crescimento é dado pelas funções temporais:
Altura (m):
Diâmetro do tronco
Se num determinado tempo após o plantio, a árvore possuir 3,4 metros de altura, o diâmetro do seu tronco será:
a)
b)
c)
d)
e)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre o crescimento de uma árvore, relacionando a altura e o diâmetro do tronco ao longo do tempo. A gente tem duas funções:
  • Altura (m):
  • Diâmetro do tronco (m):
O que a gente precisa descobrir aqui é: se em certo tempo após o plantio a árvore tem 3,4 metros de altura, qual será o diâmetro do tronco dela nesse mesmo tempo?
Para resolver isso, vamos precisar usar um pouquinho de logaritmos e exponenciais, já que as funções envolvidas usam essas operações matemáticas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o tempo (t) que leva para a árvore atingir 3,4 metros de altura. Para isso, vamos igualar a função da altura a 3,4 e resolver para :

Passo 3

Agora, vamos isolar o termo com o logaritmo:

Passo 4

Para tirar o 0,8 de lá, dividimos ambos os lados por 0,8:

Passo 5

Agora, para resolver a equação com logaritmo, lembramos que:
Aplicando isso aqui:

Passo 6

Finalmente, resolvemos para :
Então, o tempo é de 7 unidades de tempo (presumivelmente anos ou meses, dependendo do contexto).

Passo 7

Agora que sabemos que após 7 unidades de tempo a árvore tem 3,4 metros de altura, vamos calcular o diâmetro do tronco nesse mesmo tempo usando a função :

Resposta

O diâmetro do tronco será 20 cm.

Exercícios relacionados

Determine o maior conjunto onde a função abaixo é diferenciável:
Nos exercícios abaixo, responda qual das derivadas mistas de segunda ordem se pode calcular de maneira mais rápida: ou ? Tente responder a esta questão antes de calcular as derivadas.
(b)
Determine uma equação do plano tangente à superfície no ponto especificado:
(b) , no ponto .
Responda as perguntas abaixo, justificando suas respostas. A função cos é contínua? (Você pode usar aqui a continuidade da função sen para justificar a sua resposta.)