Muitas árvores possuem relações matemáticas conhecidas entre as medidas aproximadas da altura e do diâmetro do tronco, desde o instante em que as árvores são plantadas até completarem seu ciclo de vida. Considere uma árvore cujo crescimento é dado pelas funções temporais:
Altura (m):
Diâmetro do tronco
Se num determinado tempo após o plantio, a árvore possuir 3,4 metros de altura, o diâmetro do seu tronco será:
a)
b)
c)
d)
e)
Altura (m):
Diâmetro do tronco
Se num determinado tempo após o plantio, a árvore possuir 3,4 metros de altura, o diâmetro do seu tronco será:
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre o crescimento de uma árvore, relacionando a altura e o diâmetro do tronco ao longo do tempo. A gente tem duas funções:
- Altura (m):
- Diâmetro do tronco (m):
O que a gente precisa descobrir aqui é: se em certo tempo após o plantio a árvore tem 3,4 metros de altura, qual será o diâmetro do tronco dela nesse mesmo tempo?
Para resolver isso, vamos precisar usar um pouquinho de logaritmos e exponenciais, já que as funções envolvidas usam essas operações matemáticas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o tempo (t) que leva para a árvore atingir 3,4 metros de altura. Para isso, vamos igualar a função da altura a 3,4 e resolver para
:
Passo 3
Agora, vamos isolar o termo com o logaritmo:
Passo 4
Para tirar o 0,8 de lá, dividimos ambos os lados por 0,8:
Passo 5
Agora, para resolver a equação com logaritmo, lembramos que:
Aplicando isso aqui:
Passo 6
Finalmente, resolvemos para
:
Então, o tempo é de 7 unidades de tempo (presumivelmente anos ou meses, dependendo do contexto).
Passo 7
Agora que sabemos que após 7 unidades de tempo a árvore tem 3,4 metros de altura, vamos calcular o diâmetro do tronco nesse mesmo tempo usando a função
:
Resposta
O diâmetro do tronco será 20 cm.
Exercícios relacionados
Determine o maior conjunto onde a função abaixo é diferenciável:
Nos exercícios abaixo, responda qual das derivadas mistas de segunda ordem se pode calcular de maneira mais rápida:
ou
? Tente responder a esta questão antes de calcular as derivadas.
(b)
(b)
Determine uma equação do plano tangente à superfície no ponto especificado:
(b) , no ponto
.
(b)
Responda as perguntas abaixo, justificando suas respostas. A função cos é contínua? (Você pode usar aqui a continuidade da função sen para justificar a sua resposta.)