Determine uma equação do plano tangente à superfície no ponto especificado.
d) z = e^(xy), P = (1, 0, 1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação do plano tangente à superfície no ponto . Isso faz parte do conteúdo de cálculo diferencial, mais especificamente sobre derivadas parciais e planos tangentes. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a e no ponto dado e usar essas informações para montar a equação do plano tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que o plano tangente a uma superfície no ponto pode ser encontrado usando a fórmula:
Isso significa que precisamos das derivadas parciais de em relação a e no ponto .

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a . Tratando como uma constante, temos:
Agora, substituímos e :

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a . Tratando como uma constante, temos:
Substituindo e :

Passo 5

Agora que temos as derivadas parciais no ponto , podemos usar a fórmula do plano tangente:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando:

Resposta

A equação do plano tangente à superfície no ponto é:

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