Determine o valor da constante c e de forma que a função dada abaixo seja contínua em e faça um esboço da função resultante.
b) ;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar os valores das constantes e de uma função definida por partes, de forma que ela seja contínua em todos os números reais. Isso significa que não pode ter “pulos” ou “saltos” na função. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre funções contínuas e como igualar os limites nas pontas onde a função muda de uma parte para outra.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na função:
Queremos que a função seja contínua, então precisamos garantir que não haja interrupções nos pontos onde a definição muda, que são e .
Passo 3
Vamos começar verificando a continuidade em . Para isso, os valores da função imediatamente à esquerda e à direita de 1 devem ser iguais.
Quando :
Quando :
Para ser contínua em :
Essa é nossa primeira equação.
Passo 4
Agora, vamos verificar a continuidade em .
Quando :
Quando :
Para ser contínua em :
Essa é nossa segunda equação.
Passo 5
Agora temos um sistema de duas equações:
Vamos resolver esse sistema:
Primeiro, subtraímos a primeira equação da segunda:
Agora, substituímos na primeira equação:
Passo 6
Com e , a função fica:
Resposta
Os valores são e . A função resultante, contínua em , é: