Encontre o gradiente de
no ponto indicado.
b)
,
.
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar o gradiente da função
no ponto
. O gradiente é uma ferramenta da cálculo multivariável que nos dá a direção de maior crescimento da função. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de
em relação a cada variável
,
e
e então avaliar essas derivadas no ponto dado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o gradiente de uma função
é um vetor composto pelas suas derivadas parciais:
Então, nosso objetivo é encontrar
,
e
.
Passo 3
Vamos começar calculando a derivada parcial em relação a
:
Tratando
e
como constantes ao derivar em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos para a derivada parcial em relação a
:
Simplificando:
Passo 5
Por fim, vamos calcular a derivada parcial em relação a
:
Passo 6
Agora que temos todas as derivadas parciais, vamos montar o vetor gradiente:
Passo 7
Vamos agora substituir o ponto
nas derivadas parciais:
Primeiro, calculamos
.
Então:
Resposta
O gradiente de
no ponto
é: