Encontre o gradiente de f no ponto indicado.
b) f(x, y, z) = y * ln(z + x + y), -3, 4, 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar o gradiente da função no ponto . O gradiente é uma ferramenta da cálculo multivariável que nos dá a direção de maior crescimento da função. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a cada variável , e e então avaliar essas derivadas no ponto dado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o gradiente de uma função é um vetor composto pelas suas derivadas parciais:
Então, nosso objetivo é encontrar , e .

Passo 3

Vamos começar calculando a derivada parcial em relação a :
Tratando e como constantes ao derivar em relação a :

Passo 4

Agora, vamos para a derivada parcial em relação a :
Simplificando:

Passo 5

Por fim, vamos calcular a derivada parcial em relação a :

Passo 6

Agora que temos todas as derivadas parciais, vamos montar o vetor gradiente:

Passo 7

Vamos agora substituir o ponto nas derivadas parciais:
Primeiro, calculamos .
Então:

Resposta

O gradiente de no ponto é:

Exercícios relacionados