Encontre a derivada direcional de f em P na direção do vetor u.
c) f(x, y) = y^2 ln(x), P = (1, 4), u = -3i + 3j.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente o gradiente da função e a normalização do vetor direção.

Passo 2

Primeiro, precisamos normalizar o vetor . Normalizar um vetor significa transformar ele em um vetor unitário (com comprimento igual a 1) na mesma direção. Isso é importante porque a derivada direcional depende apenas da direção, não do tamanho do vetor.
A fórmula para normalizar um vetor é:
Onde é o módulo do vetor, calculado por:
Vamos aplicar isso ao nosso vetor :
Então, o vetor normalizado é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a cada variável. Ele aponta na direção de maior crescimento da função.
Para , as derivadas parciais são:
Vamos calcular essas derivadas no ponto :
Então, o gradiente no ponto é:

Passo 4

Finalmente, para encontrar a derivada direcional, fazemos o produto escalar do gradiente com o vetor direção normalizado:
Calculando o produto escalar:

Resposta

A derivada direcional de em na direção do vetor é .

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