Suponha que
w = x^3 y^2 z^4, x = t^2, y = t + 2, z = 2 t^4
Encontre a taxa de variação de w em relação a t em t = 1 usando a regra da cadeia e então confira sua resposta expressando w como uma função de t e depois derivando.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma função complicada onde depende de , e , e cada uma dessas variáveis depende de . A matéria envolvida aqui é derivação usando a regra da cadeia, que é uma técnica para calcular a taxa de variação de uma função composta. Vamos precisar usar a regra da cadeia para encontrar quando e depois verificar nossa resposta derivando diretamente em termos de .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar todas as funções envolvidas:
Queremos encontrar .

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia para funções de múltiplas variáveis, temos:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais.

Passo 4

Calculando as derivadas parciais de :

Passo 5

Agora, vamos derivar , e em relação a :

Passo 6

Substituindo todas as derivadas na fórmula da regra da cadeia:

Passo 7

Agora, substituímos , , e na expressão acima:

Passo 8

Simplificando as potências:

Passo 9

Multiplicando os coeficientes e somando as potências de :

Passo 10

Agora, substituímos na expressão:

Passo 11

Agora, vamos conferir nossa resposta expressando como função de e derivando diretamente:
Diferenciando em relação a :
Substituindo :

Resposta

A taxa de variação de em relação a em é .

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