Encontre a taxa de variação de em relação a em usando a regra da cadeia e então confira sua resposta expressando como uma função de e depois derivando.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma função complicada onde depende de , e , e cada uma dessas variáveis depende de . A matéria envolvida aqui é derivação usando a regra da cadeia, que é uma técnica para calcular a taxa de variação de uma função composta. Vamos precisar usar a regra da cadeia para encontrar quando e depois verificar nossa resposta derivando diretamente em termos de .
Passo 2
Primeiro, vamos identificar todas as funções envolvidas:
Queremos encontrar .
Passo 3
Aplicando a regra da cadeia para funções de múltiplas variáveis, temos:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais.
Passo 4
Calculando as derivadas parciais de :
Passo 5
Agora, vamos derivar , e em relação a :
Passo 6
Substituindo todas as derivadas na fórmula da regra da cadeia:
Passo 7
Agora, substituímos , , e na expressão acima:
Passo 8
Simplificando as potências:
Passo 9
Multiplicando os coeficientes e somando as potências de :
Passo 10
Agora, substituímos na expressão:
Passo 11
Agora, vamos conferir nossa resposta expressando como função de e derivando diretamente: