Utilize a regra da cadeia para determinar partial zpartial s e partial zpartial t. z=xy, x=s e^t, y=1+s e^-t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar a regra da cadeia para encontrar as derivadas parciais de em relação a e . Aqui, temos que , onde e . A regra da cadeia vai nos ajudar a relacionar as derivadas de com as derivadas de e .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar partial zpartial s = partial zpartial x cdot partial xpartial s + partial zpartial y cdot partial ypartial s . Segundo a regra da cadeia, isso se expande da seguinte forma:
Agora, vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais.

Passo 3

Vamos calcular partial zpartial x = 1y e partial zpartial y = -xy^2 :
Essas derivadas vêm da função .

Passo 4

Agora, vamos calcular partial xpartial s = e^t e partial ypartial s = e^-t :
Isso porque e .

Passo 5

Substituindo todas essas derivadas na expressão inicial de partial zpartial s = ( 1y ) cdot e^t + ( -xy^2 ) cdot e^-t :
partial zpartial s = e^t1 + s e^-t - s e^t(1 + s e^-t)^2 cdot e^-t
Agora, vamos substituir partial zpartial s = e^t1 + s e^-t - s(1 + s e^-t)^2 e :
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos encontrar partial zpartial t = partial zpartial x cdot partial xpartial t + partial zpartial y cdot partial ypartial t usando a regra da cadeia:
partial xpartial t = s e^t
Vamos calcular partial ypartial t = -s e^-t e :

Passo 7

Substituindo essas derivadas na expressão de partial zpartial t = ( 1y ) cdot s e^t + ( -xy^2 ) cdot (-s e^-t) :
partial zpartial t = s e^t1 + s e^-t + s x e^-t(1 + s e^-t)^2
Simplificando:
partial zpartial t = s e^t1 + s e^-t + s^2(1 + s e^-t)^2
Substituindo :

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial s = e^t1 + s e^-t - s(1 + s e^-t)^2
e
partial zpartial t = s e^t1 + s e^-t + s^2(1 + s e^-t)^2

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