Se z=f(x-y), mostre que partial zpartial x+partial zpartial y=0.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. Temos uma função partial zpartial x + partial zpartial y = 0 que depende de e através de outra função , ou seja, . O objetivo é mostrar que a soma das derivadas parciais de em relação a e é igual a zero:
Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de derivadas parciais e a Regra da Cadeia, que é uma técnica para derivar funções que são compostas por outras funções.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de partial zpartial x = f'(u) cdot partial upartial x em relação a partial upartial x = partial (x - y)partial x = 1 .
Como partial zpartial x = f'(x - y) cdot 1 = f'(x - y) , onde , aplicamos a Regra da Cadeia:
Calculando :
Então,

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de partial zpartial y = f'(u) cdot partial upartial y em relação a partial upartial y = partial (x - y)partial y = -1 .
Novamente, usando a Regra da Cadeia:
partial zpartial y = f'(x - y) cdot (-1) = -f'(x - y)
Calculando :
Então,

Passo 4

Agora, somamos as duas derivadas parciais que encontramos:
partial zpartial x + partial zpartial y = f'(x - y) + (-f'(x - y)) = 0

Resposta

Concluímos que:
partial zpartial x + partial zpartial y = 0

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