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Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a n-ésima derivada de
. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas de funções hiperbólicas e propriedades das derivadas de funções exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a função cosseno hiperbólico:
No nosso caso, temos
, então substituindo
por
, fica:
Passo 3
Agora, precisamos calcular a n-ésima derivada dessa função. Sabemos que a derivada de
em relação a
é:
Aplicando isso às nossas exponenciais:
- A derivada de
será multiplicada por 2 a cada derivação. - A derivada de
será multiplicada por -2 a cada derivação.
Passo 4
Vamos calcular as primeiras derivadas para identificar o padrão:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Terceira derivada:
Passo 5
Observando as derivadas calculadas, percebemos um padrão:
- Se
é par, a n-ésima derivada de será . - Se
é ímpar, a n-ésima derivada será .
Resposta
A n-ésima derivada de
é: