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Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a n-ésima derivada de . Para isso, vamos usar conceitos de derivadas de funções hiperbólicas e propriedades das derivadas de funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a função cosseno hiperbólico:
No nosso caso, temos , então substituindo por , fica:

Passo 3

Agora, precisamos calcular a n-ésima derivada dessa função. Sabemos que a derivada de em relação a é:
Aplicando isso às nossas exponenciais:
  • A derivada de será multiplicada por 2 a cada derivação.
  • A derivada de será multiplicada por -2 a cada derivação.

Passo 4

Vamos calcular as primeiras derivadas para identificar o padrão:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Terceira derivada:

Passo 5

Observando as derivadas calculadas, percebemos um padrão:
  • Se é par, a n-ésima derivada de será .
  • Se é ímpar, a n-ésima derivada será .

Resposta

A n-ésima derivada de é:
ééí

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3 6 4 8
6 3 -1 1
Encontre os pontos críticos da função:
(d)